Justification approximative du calcul de la densité spectrale à partir de la fonction d'autocorrélation

Si on connait une réalisation du processus $x(t)$, le carré du module de sa transformée de Fourier peut être estimé par

$$\vert X(e^{j\omega})\vert^2=\frac{1}{2T+1}\left[\sum_{t=-T}... ...\omega t}\right]\left[\sum_{u=-T}^{T}x(u)e^{j\omega u}\right]$$ (286)

$$\vert X(e^{j\omega})\vert^2=\frac{1}{2T+1}\sum_{t=-T}^{T}\sum_{u=-T}^{T}x(t)x(u)e^{-j\omega (t-u)}$$ (287)

En effectuant le changement de variables $u=t-\tau$, et en changeaut l'ordre des sommations

$$\vert X(e^{j\omega})\vert^2=\frac{1}{2T+1}\sum_{\tau=-T}^{T}\sum_{t=-A(\tau)}^{B(\tau)}x(t)x(t-\tau)e^{-j\omega \tau}$$ (288)

où, quand $\tau$ est positif, $A(\tau)=0$ et $B(\tau)=T-\tau$

$$\vert X(e^{j\omega})\vert^2=\sum_{\tau=-T}^{T}e^{-j\omega ... ...\frac{1}{2T+1}\sum_{t=-A(\tau)}^{B(\tau)}x(t)x(t-\tau)\right]$$ (289)

Pour $\tau$ fixé, on fait tendre $T$ vers l'infini, et à condition que $r(\tau)$ tende rapidement vers zéro lorsque $\tau$ tend vers l'infini

$$\vert X(e^{j\omega})\vert^2=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}e^{-j\omega \tau}r(\tau)$$ (290)

La moyenne du carré du module d'une composante sinusoïdale de $x(t)$ à la fréquence $\omega$ est donnée par la valeur de la densité spectrale (transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation) à cette fréquence. Ceci implique que la densité spectrale est une fonction non négative.