Densité spectrale des signaux aléatoires échantillonnés

La transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation est la densité spectrale. On peut en donner les deux écritures, l'expression en fonction des fréquences ou l'expression sous la forme d'une transformé en $z$ définie dans une couronne entourant le cercle de rayon un.

$$R(z)=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}r(\tau)z^{-\tau}$$ (277)

$$R(e^{j\omega})=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}r(\tau)e^{-j\omega\tau}$$ (278)

Tout comme dans le cas des signaux à temps continu, cette densité spectrale est la moyenne du carré du module de la transformée de Fourier $X(e^{j\omega})$ d'une réalisation du processus aléatoire $x(t)$. C'est une fonction non négative. Plus généralement, la fonction d'autocorrélation est définie positive, c'est à dire que pour toute

$$R(e^{j\omega})=E[\vert X(\omega)\vert^2]$$ (279)

Par exemple, si la fonction d'autocorrélation d'un signal est

$$r(\tau)=a^{-\vert\tau\vert}$$ (280)

où $\vert a\vert>1$, sa densité spetrale s'écrit

$$R(e^{j\omega})=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}a^{-\vert\tau\vert}z^{-\tau}$$ (281)

On peut écrire en séparant la somme en deux, l'une pour les temps positifs, l'autre pour les temps négatifs

$$R(z)=\sum_{\tau=-\infty}^{0}a^{\tau}z^{-\tau}+\sum_{\tau=0}^{\infty}a^{-\tau}z^{-\tau}-1$$ (282)

La première série converge vers $\frac{a}{a-z}$ à condition que $\vert z\vert>1/\vert a\vert$; la seconde converge vers $\frac{a}{a-z^{-1}}$ à condition que $\vert z\vert<\vert a\vert$. La densité spectrale est définie dans la couronne $1/\vert a\vert<\vert z\vert<\vert a\vert$, son expression est

$$R(z)=\frac{a^2-1}{(a-z)(a-z^{-1})}$$ (283)

Sa valeur sur le cercle de rayon un est

$$R(e^{j\omega})=\frac{a^2-1}{(a-e^{j\omega})(a-e^{-j\omega})}$$ (284)

$$R(e^{j\omega})=\frac{a^2-1}{a^2-2a\cos(\omega)+1}$$ (285)

Elle est toujours positive. Remarque: La fonction d'intercorrélation (273) a aussi une transformée de Fourier. Nous l'utiliserons dans le paragraphe consacré au filtrage des signaux aléatoires.