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Fonction d'intercorrélation

Dans certains problèmes, il est nécessaire d'étudier la fonction d'intercorrélation entre deux signaux.
\begin{displaymath}
r_{xy}(t_1t_2)=E[x(t_1)x(t_2)]
\end{displaymath} (273)

Lorsque l'ensemble des deux signaux est stationnaire, cette intercorrélation ne dépend que de la différence $t_1-t_2$. L'étude de la fonction d'intercorrélation entre l'entrée stationnaire $x(t)$ de variance $\sigma^2$ et la sortie $y(t)$ d'un système linéaire invariant dans le temps permet de retrouver la réponse impulsionnelle de ce système si les échantillons de $x(t)$ sont indépendants et de moyenne nulle. Il n'est pas nécessaire que le système soit causal (fig. 63). En effet, si
\begin{displaymath}
y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(t-k)h(k)
\end{displaymath} (274)


\begin{displaymath}
E[y(t)x(t-\tau)]=\sum_{k=0}^{\infty}h(k)E[x(t-k)x(t-\tau)]
\end{displaymath} (275)

Tous les termes de la somme sur $k$ sont nuls sauf lorsque $k=\tau$
\begin{displaymath}
E[y(t)x(t-\tau)]=h(\tau)\sigma^2
\end{displaymath} (276)

Figure 63: Exemple de fonction d'intercorrélation entre l'entrée et la sortie d'un sytème linéaire; on obtient la réponse impulsionnelle de ce système linéaire
\begin{figure}
\begin{picture}(0,5)
% multiput(0,0)(0,1)\{15\}\{ line(1,0)\{15...
...es.eps''}}
%fichier matcad : correletspectre.mcd
\end{picture}
\end{figure}

Cette manière d'estimer la réponse impulsionnelle d'un système est utilisée lorsqu'il est impossible d'appliquer à l'entrée une impulsion qui pourrait, du fait de sa grande amplitude, modifier de manière non linéaire les caractéristiques du système.
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Leroux Joel
2000-11-14