next up previous contents
suivant: Fonction d'intercorrélation monter: Les signaux aléatoires échantillonnés précédent: Moyenne et fonction de   Table des matières

Cas des signaux stationnaires et ergodiques

Un signal aléatoire est stationnaire à l'ordre deux si ses moments d'ordre un et deux ne dépendent pas de l'origine du temps. La moyenne $m$ est alors indépendante de $t$. La fonction de covariance $c(t_1,t_2)$ ne dépend que de la différence $t_1-t_2$. On l'appelle souvent fonction d'autocorrélation
\begin{displaymath}
r(\tau)=E[x(t)x(t+\tau)]
\end{displaymath} (270)

On peut remplacer le calcul de la moyenne et de la fonction d'autocorrélation définis comme des espérences mathématiques calculées sur un grand nombre d'expériences par un calcul sur une seule réalisation. Si ce calcul est possible, on dit que le signal est ergodique, propriété qui est souvent supposée vérifiée. Un cas où cette propriété n'est pas vérifiée est celui du calcul d'une moyenne: on cherche à estimer la moyenne d'une donnée fluctuant au cours du temps, par exemple une pression. Tous les baromètres ont en général un réglage différent: si on mesure la même pression de référence que nous prendrons égale à zéro avec deux baromètres, chacun des baromètre indique une valeur différente. Cette valeur est aléatoire et dépend du baromètre. Donc si on utilise le résultat d'un seul baromètre pour calculer la moyenne de l'évolution de la pression au cours du temps, on ne trouvera pas le même résultat qu'en effectuant un calcul de moyenne fondé sur l'utilisation des mesures données par tous les baromètres. Dans le cas où les signaux sont ergodiques, on estime la moyenne et le moment d'ordre deux de la manière suivante. On suppose qu'on connait $T$ échantillons de $x(t)$, on suppose que $x(t)$ est nul en dehors de l'intervalle $[0,T-1[$ et on calcule
\begin{displaymath}
m=\frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}x(t)
\end{displaymath} (271)


\begin{displaymath}
r(\tau)=\frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}x(t)x(t+\tau)
\end{displaymath} (272)


next up previous contents
suivant: Fonction d'intercorrélation monter: Les signaux aléatoires échantillonnés précédent: Moyenne et fonction de   Table des matières
Leroux Joel
2000-11-14