Filtrage des signaux aléatoires

Soit un signal aléatoire $x(t)$ qu'on filtre par un filtre linéaire invariant au cours du temps de réponse impulsionnelle $h(t)$ et de réponse en fréquence $H(\omega)$. On connait la fonction d'autocorrélation et la densité spectrale de $x(t)$, soient $r_x(\tau)$ et $R_X(\omega)$. On cherche à trouver la densité spectrale $R_Y(\omega)$ et la fonction d'autocorrélation $r_y(\tau)$ de $y(t)$ signal de sortie du filtre. La sortie du filtre est

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(u)h(t-u)du$$ (249)

La fonction d'autocorrélation de $y(t)$ est

$$E[y(t)y(t')]=E\left[\int_{-\infty}^{\infty}x(u)h(t-u)du \int_{-\infty}^{\infty}x(u')h(t'-u')du'\right]$$ (250)

En éludant le problème de la commutation des calculs de moyennes et de sommations

$$E[y(t)y(t')]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}h(t-u)h(t'-u')E\left[x(u)x(u')\right]dudu'$$ (251)

$$E[y(t)y(t')]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}h(t-u)h(t'-u')r_x(u-u')dudu'$$ (252)

On pose $t'-t=\tau$

$$E[y(t)y(t+\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}h(t-u)h(t+\tau-u')r_x(u-u')dudu'$$ (253)

et $u-t=-v$,$u'-t=-v'$

$$E[y(t)y(t+\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}h(v)h(v'+\tau)r_x(v-v')dvdv'$$ (254)

On remarque que $E[y(t)y(t+\tau)]$ ne dépend que de $\tau$, ce qui implique la stationnarité de $y(t)$. La stationnarité implique que l'autocorrélation et la densité spectrale existent. On remarquera aussi que $r_y(\tau)$ est un double calcul de convolution

$$r_y(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}h(v) \left[\int_{-\infty}^{\infty}h(v'+\tau)r_x(v-v')dv'\right]dv$$ (255)

ou encore

$$r_y(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}h(v) \left[\int_{-\infty}^{\infty}h(v')r_x(v-\tau-v')dv'\right]dv$$ (256)

SI $v-\tau=u$

$$r_y(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}h(u+\tau) \left[\int_{-\infty}^{\infty}h(v')r_x(u-v')dv'\right]du$$ (257)

qu'on écrira

$$r_y(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}h(u+\tau)g(u)du$$ (258)

où on a posé

$$g(u)=\int_{-\infty}^{\infty}h(v')r_x(u-v')dv'$$ (259)

Nous appellerons $G(\omega)$ la transformée de Fourier de $g(u)$. La transformée d'une convolution étant un produit

$$G(\omega)=H(\omega)R_x(\omega)$$ (260)

Dans le domaine des fréquences, on calcule la transformée de Fourier $R_y(\omega)$

$$R_y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h(u+\tau) g(u)\exp -j\omega\tau du d\tau$$ (261)

en posant $h'(u)=h(-u)$, $H'(\omega)=\overline{H(\omega)}$

$$R_y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h'(-u-\tau') g(u) \exp -j\omega\tau' du d\tau'$$ (262)

C'est la transformée de Fourier d'une convolution qui s'écrit donc

$$R_y(\omega)=\overline{H(\omega)}G(\omega)$$ (263)

En remplaçant $G(\omega)$ par sa valeur (260)

$$R_y(\omega)=\overline{H(\omega)}H(\omega)R_x(\omega)$$ (264)

$$R_y(\omega)=\vert H(\omega)\vert^2 R_x(\omega)$$ (265)

La densité spectrale de la sortie du filtre est égale à la densité spectrale de l'entrée multipliée par le carré du module de la réponse en fréquence du filtre. Ce résultat est fondamental pour un bon nombre d'applications. Il est tout à fait cohérent avec le résultat sur le filtrage des signaux déterministes pour lesquels on a

$$\vert Y(\omega)\vert^2=\vert H(\omega)\vert^2 \vert X(\omega)\vert^2$$ (266)