Densité spectrale

Un problème important dans de nombreuses applications est l'étude de la répartition en fréquences d'un signal aléatoire: une réalisation de ce signal $x(t)$ a une transformée de Fourier $X(\omega)$ qu'on ne peut théoriquement pas calculer mais dont on peut trouver une estimation ${\hat{X}}(\omega)$. On cherche à calculer $E[\vert X(\omega)\vert^2]$, répartition moyenne de l'énergie du signal en fonction de la fréquence.

Figure 59: Exemple de densité spectrale

Nous ne donnerons pas ici un développement rigoureux, ce qui serait excessivement fastidieux pour un cours élémentaire mais seulement une forme sommaire de ce développement qui traduit bien ce qu'on peut faire en pratique dans les applications. Une estimation de la transformée de Fourier d'une réalisation du processus aléatoire $x(t)$ est

$${\hat{X}}(\omega)=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t)\exp -j\omega t dt$$ (237)

$$E\vert{\hat{X}}(\omega)\vert^2=\frac{1}{2T}E\left[\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T} x(t)x(t')\exp -j\omega (t-t') dt dt'\right]$$ (238)

Nous supposerons qu'on peut commuter les sommations et les calculs de moyenne,

$$E\vert{\hat{X}}(\omega)\vert^2=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T} E\left[x(t)x(t')\right]\exp -j\omega (t-t') dt dt'$$ (239)

et que le signal est stationnaire, ce qui fait apparaître la fonction d'autocorrélation $r(t-t')$

$$E\vert{\hat{X}}(\omega)\vert^2=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T} r(t-t')\exp -j\omega (t-t') dt dt'$$ (240)

En posant

$$u=t-t'$$ (241)

$$v=t+t'$$ (242)

cette équation devient

$$E\vert{\hat{X}}(\omega)\vert^2=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\in... ...T+\vert v\vert}^{T-\vert v\vert} r(u)\exp -j\omega (u) du dv$$ (243)

Si on admet, en éludant les problèmes de convergence, qu'on peut calculer la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation, soit $R(\omega)$

$$E\vert{\hat{X}}(\omega)\vert^2=\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} R(\omega) dv=R(\omega)$$ (244)

La valeur moyenne de la répartion de l'énergie en fonction de la fréquence est donnée par la transformée de Fourier $R(\omega)$ de la fonction d'autocorrélation. On a ainsi deux possibilités: soit on se donne une estimation de la transformée de chaque réalisastion et le carré de son module, $\vert\hat{X}(\omega))\vert$, et on calcule une moyennes sur différentes réalisations pour estimer la densité spectrale; soit on calcule la fonction d'autocorrélation du signal (ce qui peut se faire sur une seule réalisation si le signal est ergodique) et on en prend la transformée de Fourier. On peut considérer qu'un signal aléatoire $x(t)$ admet une décomposition en fréquence sous la forme d'une somme infinie de sinusoïdes où pour chaque fréquence

$$X(\omega)=\rho(\omega)\exp[j\varphi(\omega)]$$ (245)

$\rho(\omega)$ est une variable aléatoire positive ou nulle telle que sa moyenne est égale à la racine carrée de la densité spectrale $R_x(\omega)$ et $\varphi(\omega)$ est une variable aléatoire équirépartie dans $[-\pi, \pi[$.