JPEG, transformée en cosinus

Proposé en 1988, le codage JPEG (Joint Photographic Expert Group) utilise une variante de la transformée de Fourier, la transformée en cosinus, qui ne nécessite pas l'utilisation des nombres complexes. On découpe l'image en blocs de taille $8\times 8$ et on applique à chacun de ces médaillons la transformation

$$pour u, v=0, ..., 7 :$$ (92)

$$F(u,v)=\frac{1}{4}c(u)c(v)\sum_{x=0}^{7}\sum_{y=0}^{7}f(x,y) \cos(\frac{2x+1}{16}u\pi)\cos(\frac{2y+1}{16}v\pi)$$ (93)

où $c(0)=1/\sqrt(2)$ et $c(u)=1$ si $u\ne 0$. Cette transformation donne une image de même taille et possède une inverse de forme identique

$$pour x, y=0, ..., 7 :$$ (94)

$$F(x,y)=\frac{1}{4}c(u)c(v)\sum_{x=0}^{7}\sum_{y=0}^{7}F(u,v) \cos(\frac{2x+1}{16}u\pi)\cos(\frac{2y+1}{16}v\pi)$$ (95)

On remarque que l'amplitude de $F(u,v)$lorsque $u$ et $v$ sont faibles, est plus importante que lorsque $u$ et $v$ sont grand, parce qu'en général dans une image, les variations rapides ont une amplitude plus faible et ont une importance moindres que les variations lentes. On peut ainsi coder les valeurs de $F(u,v)$ sur moins de bits lorsque $u$ et $v$ sont grands, et éventuellement ignorer les composantes de très faible amplitude. On applique ensuite un codage de Huffman (voir le paragraphe 6.2.1). Ce sont ces données qui sont transmises; le récepteur calcule la transformée inverse. On obtient une qualité acceptable pour un débit de 1/2 bit par pixel et une qualité excellente pour 2 bits par pixel (à comparer aux 8 bits par pixel de l'image initiale).