Codes cycliques

Un code cyclique est un code qui a la propriété suivante: si $c$ est un mot du code, le mot $c'$ déduit de $c$ par décalage circulaire est aussi un mot du code. Au lieu d'étudier directement les propriétés des codes définis sur le corps fini $GF(q)$, il est préférable d'étudier leurs propriétés dans $GF(q^m)$. A chaque mot du code, on associe un vecteur de dimension $n$. On peut aussi associer un polynôme $c(z)$ de degré $(N-1)$

$$C(z)=\sum_{t=0}^{N-1}c(t)z^{-t}$$ (55)

Le code cyclique est défini par un polynôme générateur. Les mots du code sont les multiples de ce polynôme générateur. Le code suivant (code de Hamming (7,4)) est engendré à partir des polynômes dont tous les coefficients sont égaux à un ou à zéro et des deux polynômes

$$1.z^0+0.z^{-1}+1.z^{-2}+1.z^{-3}+0.z^{-4}+0.z^{-5}+0.z^{-6}$$ (56)

et

$$1.z^0+1.z^{-1}+1.z^{-2}+0.z^{-3}+1.z^{-4}+0.z^{-5}+0.z^{-6}$$ (57)

$$\left[\begin{array} {ccccccc} 0&0&0&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&1... ...1&1&1\\ 1&0&0&1&1&1&0\\ 0&0&1&1&1&0&1 \end{array}\right]$$ (58)