Loi de probabilités couramment utilisées

La loi de Bernouilli $x$ prend la valeur $0$ avec la probabilité $r$ et la valeur $1$ avec la probabilité $(1-r)$. Comme toute variable aléatoire discrète, elle ne possède pas de densité de probabilité, il faut avoir recours à la distribution de Dirac

$$p(x)=r\delta(x)+(1-r)\delta(1-x).$$ (20)

Loi uniforme

$x$ prend des valeurs uniquement dans l'intervalle $[a, b[$. Sa densité de probabilité est nulle en dehors de cet intervalle et y vaut

$$p(x)=\frac{1}{b-a}.$$ (21)

Figure 6: Densité de probabilité de la loi uniforme :$a=-0.5$,$b=1.5$

Sa fonction de répartition est composée de trois segments de droites

$$F(x)=0 \mbox{ pour } x<a,$$

$$F(x)=\frac{x-a}{b-a} \mbox{ pour } a\le x < b,$$

$$F(x)=1 \mbox{ pour } x\le b.$$ (22)

Loi normale ou gaussienne

Sa densité de probabilité est

$$p(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right].$$ (23)

Figure 7: Densité de probabilité de la loi gaussienne

La densité de probabilité passe par son maximum pour $x=m$. Elle a ses points d'inflexion en $m+\sigma$ et $m-\sigma$. Cette loi présente trois caractéristiques importantes : $\bullet$ Elle permet des développements mathématiques efficaces, en particulier en ce qui concerne les variables aléatoires indépendantes parce qu'elle s'exprime comme l'exponentielle d'une forme quadratique (ceci sera précisé lorsque nous présenterons l'analyse des couples de variables aléatoires. $\bullet$ Toute l'information est donnée directement par les paramètres $m$ et $\sigma$ qui caractérisent respectivement la valeur moyenne et la dispersion autour de cette valeur moyenne. $\bullet$ Enfin, c'est la loi qu'on obtient naturellement en additionnant un grand nombre de variables aléatoires indépendantes; elle représente bien un grand nombre de phénomènes physiques aléatoires comme le bruit de fond, les erreurs entâchant les mesures, etc...

Loi de Poisson

C'est la loi qu'on obtient en comptant des évènements aléatoires indépendants: arrivée d'une particule sur un capteur, décompte des appels sur un central téléphonique, comptage de voitures sur une route, etc.. C'est la loi centrale des études sur les files d'attente dans les réseaux de communication. Elle dépend d'un paramètre $\lambda$ qui caractérise le débit moyen du flux. La probabilité d'observer $k$ événements pendant une durée $t$ est donnée par

$$p(k,t)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}\exp(-\lambda t),$$ (24)

pour $k\ge 0$ et $t\ge 0$, où on prend $0! = 1$.

Figure 8: Densités de probabilités $p(k,t)$ de la loi de Poisson