Somme de variables aléatoires indépendantes

Soient deux variables aléatoires indépendantes $x$ et $y$ prenant des valeurs entières. La porbabilité pour que $x=m$ et $y=n$ simultanément est $p_x(m)p_y(n)$. Soit $z=x+y$ . Sa densité de probabilité est

$$p_z(k)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}p_x(m)p_y(k-m).$$ (55)

De manière générale la densité de probabilité de la somme s'écrit sous la forme d'une convolution.

$$p_z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}p_x(x)p_y(z-x)dx.$$ (56)

Par exemple si sont des variables aléatoires équiréparties entre $0$ et $1$

Figure 14: Densité de probabilité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes équiréparties entre -1/2 et 1/2

La fonction caractéristique de $z$ est la transformée de Fourier d'un produit de convolution. C'est donc le produit des fonctions caractéristiques de $x$ et $z$:

$$E[exp(juz)]=E[exp(jux)]E[exp(juy)].$$ (57)

On en déduit que la moyenne des sommes la somme des moyennes est égale à et que la variance de la somme est égale à la somme des variances

$$\sigma_z^2=\sigma_x^2+\sigma_y^2.$$ (58)

Cependant si les deux variables ne sont pas indépendantes, on peut seulement écrire que

$$p_z(k)=\int_{-\infty}^{\infty}p(x,z-x)dx.$$ (59)