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Quelques applications de la transformée de Fourier

Voici une série de copies de transparents illustrant les raisons de l'importance de la transformée de Fourier ainsi qu'un certain nombre d'applications. L'objectif initial de cette présentation est de montrer l'importance socio-économique actuelle des techniques de traitement numérique du signal, et plus particulièrement de la transformée de Fourier discrète (grâce à l'invention de la transformée de Fourier rapide). La liste des ces applications n'est pas exhautive. D'éventuelles additions et commentaires sont les bienvenus (me contacter à leroux@essi.fr).

Quelques cours de traitement du signal sont accessibles sur la page http://www.essi.fr/~leroux/
ou en cours de rédaction (me contacter si vous êtes intéressé par une version brouillon)

Introduction

1 Titre
2 Plan de l'exposé
3 Biographie de Fourier
4 Le problème étudié par Fourier
4a L'écriture originale de la formule de Fourier
5 Les travaux qui s'en déduisent
6 La propriété fondamentale dans de nombreuses applications

Application aux signaux monodimensionnels

7 Quelques applications importantes dans le cas des signaux monodimensionnels (fonction du temps)
8 Filtrage
9 Modulation
10 Echantillonnage
11 Analyse du signal vocal (signaux périodiques)
11a Les bases élémentaires de la musique
12 Analyse temps fréquence du signal vocal
13 Analyse temps fréquece d'autres signaux (cri de chauve souris)
14 Applications industrielles en communication où il y a une utilisation directe de la transformée de Fourier rapide : codage de sons radiodiffusion OFDM codes correcteurs d'erreurs
15 Codage MP3 en haute fidélilité
16 Analyse de Fourier et spectroscopie
17 Analyse de Fourier et spectroscopie
17a Autre domaine d'utilisation de la transformée de Fourier dans le cas des fonctions monodimensionnelles : l'analyse des résultats de la résonance magnétique nucléaire
appliquée à l'étude des structures chimiques

Application aux signaux bidimensionnels

18 Plan sommaire pour les applications multidimensionnelles
18a Description de sinusoïde bidimensionnelle
19 Le principe de base du filtrage bidimensionnel
20 Quelques exemples de traitement d'images
21 Filtrage de bruit
22 Filtrage passe-bas
23 Filtrage passe haut ; mise en évidence des contours
23a Utilisation de la transformée en cosinus en codage JPEG (et MPEG)

Applications fondées sur la propagation des ondes électromagnétiques

24 La propagation des ondes ; les interférences
24aa Traitement d'antenne
24a Holographie
25 Interférométrie et imagerie astronomique
25a Interférométrie et imagerie astronomique
25b Rayons X; figures de diffraction de Braggs; cristallographie
26 Tomographie (Principe)
27 Tomographie : Intérêt de la transformée de Fourier
27a Tomographie exemple
28 Résonance magnétique nucléaire : principe
29 Allure des signaux mesurés
30 Résonance magnétique nucléaire : Intérêt de l'utilisation de la transformée de Fourier
30a Resonance magnétique nucléaire : exemple

31 Pour conclure

Quelques références

2 plan de la présentation

3 biographie succinte de J. Fourier
Lecture conseillée : l'excellent ouvrage de J. Dhombes et J. B. Robert, ``Fourier, créateur de la physique-mathématique'', éditions Belin, 1998;
L'article de Louise Beltrand ``Un préfet statisticien'', Les cahiers de Science et vie, n° 48, Décembre 1998, pp. 40-48.
I. Grattan-Guinness en collaboration avec J. R. Ravetz, ``Joseph Fourier, 1768-1830'', MIT Press 1972.

4 L'idée de base de la décomposition de Fourier

4a L'ouvrage de Fourier a été réédité aux éditions Jacques Gabay (25 rue du Dr Roux F-92330 à Sceaux) en 1988

5 Remarque : l'idée de la transformée de Laplace est antérieure (Euler, 1737, puis Laplace 1782 1785); toutefois, le développement de la transformée de Laplace inverse n'est proposé par Laplace qu'après sa prise de connaissance du travail de Fourier; Gauss avait envisagé des calculs du type transformée de Fourier rapide

6 La décomposition de Fourier est particulièrement utile lorsqu'on analyse les déformations apportées à une fonction par un système linéaire invariant dans le temps ou dans l'espace

8 Effet d'un filtre simple sur un signal sinusoïdal (amplification et déphasage) en fonction de la fréquence

9 Interprétation de la mise en forme des signaux et de la modulation en transmission numérique de données

10 L'échantillonnage, fonction primordiale en traitement numérique des signaux et des images s'interprète grâce à la transformée de Fourier

11 Pour comprendre le signal vocal et les signaux musicaux il est nécessaire d'en faire une analyse en fréquences

11a Les fréquences de la gamme ont des harmoniques communes

12 La représentation temps fréquence (évolution des fréquences présentes dans un signal en fonction du temps) est la base de l'analyse et de la reconnaissance du signal vocal

13 La représentation temps fréquence est aussi très utile pour analyser certains signaux complexes

14 La transmission et le stockage de sons haute fidélité se fonde sur une utilisation extensive de la transformée de Fourier rapide; cette transformée de Fourier rapide
commence aussi à trouver des applications en transmission et radiodiffusion numérique; une forme plus élaborée est utilisée pour effectuer la correction d'erreurs en transmission numérique.

15 Représentation schématique de l'utilisation du filtrage et de la transformée de Fourier dans le codage de sons haute fidélité MP3

16 L'analyse spectroscopique actuelle fait appel à la transformée de Fourier pour retrouver à partir des interférogrammes les fréquences d'absobsion de divers composants chimiques

17 Schéma général d'un spectromètre

17a Une autre forme d'analyse, la résonance magnétique nucléaire fait aussi appel à la décomposition de Fourier

18 L'analyse de Fourier s'applique aussi aux fonctions multidimensionnelles; en particulier dans le cas de la propagation des ondes sonores et électromagnétiques

18a Allure d'une sinusoïde bidimensionnelle

19 Exemple de filtrage passe bas réalisé par un appareillage optique

20 Les traitements simples sont des filtrages (amplification ou atténuation des basses fréquences et des hautes fréquences); on trouve une utilisation extensive de la transformée de Fourier
(sous le nom de transformée en cosinus) dans les méthodes de codage à réduction de débit jpeg et mpeg

21 Exemple de filtrage passe bas en vue de la réduction du bruit d'acquisition sur une image

22 Le filtrage passe bas se traduit par un effet de flou

23 Le filtrage passe haut met en évidence les contours qui se traduisent par des variations rapides du signal

23a Utilisation de la transformée en cosinus en codage JPEG

24 Un domaine très important des applications est celui où la physique est celle de la propagation des ondes, en particulier en électromagnétisme, mais aussi dans le cas
des ondes sonores et de la mécanique quantique

24aa Un domaine important est l'analyse de la direction de propagation des signaux mesurés par un réseau de capteurs

24a L'imagerie en relief (hologrammes) est fondée sur l'analyse des interférences entre deux ondes; son formalisme est proche de l'analyse de Fourier

25 L'interférométrie trouve un champ d'application important en astronomie : on peut, en faisant interférer des ondes de plusieurs petits télescopes reconstruire une image équivalente à celle obtenue en utilisant un grand télescope très coûteux, voire impossible à construire

25a On peut ainsi détecter des étoiles doubles

25b L'analyse des motifs d'interférences (braggs) se fait grâce à la transformée de Fourier

26 La reconstruction d'objets semi transparents à partir de vues dans différentes directions (projections) donne des représentations particulièrement utiles en médecine

27 La reconstruction de l'objet se fait aisément grâce à la transformée de Fourier

27a Exemple de reconstruction d'objet en tomographie

28 La résonance magnétique nucléaire est un autre outil fondamental en imagerie médicale

29 La fréquence du signal émis lors du retour à l'équilibre des noyaux (par exemple d'hydrogène) dépend du champ magnétique où se trouvent ces atomes

30 En faisant varier le champ magnétique on peut en déduire la densité des atomes cherchés en fonction d'une direction; puis une série de mesures avec des gradients de champ magnétique
différents permet de reconstituer l'objet à partir de ces différentes mesures

30a Exemple d'image obtenue (d'une précision de l'ordre du millimètre)

31 Pour conclure on peut apprécier l'importance des applications actuelles de la transformée de Fourier

deux épitaphes

d'Evariste Galois (20 ans) apprenant la perte du Mémoire sur les conditions pour qu'une équation soit soluble par radicaux qu'il avait adressé à l'académie des sciences
"mais la perte de ce Mémoire est une chose très simple. Il était chez M. Fourier qui devait le lire, et, à la mort de ce savant, le Mémoire a été perdu."

de Jacobi
"Un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et que, sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu'une question du système du monde"

Quelques références

Il y a de nombreux sites où on peut trouver des illustrations de ces applications de la transformée de Fourier; une recherche par mots-clés donne un masse importante de résultats: j'ai repris les images présentées sur les sites suivants, mais il y en a certainement d'aussi bonnes voire de meilleures sur d'autres sites.

portrait de fourier

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Posters2/Fourier.html

mp3

http://www.eskimo.com/~miyaguch/mp3info.html

sonagramme spectrogramme

http://www.pinn.net/~stephenl/compdisc/sld015.htm

chauve souris

http://www.for.gov.bc.ca/ric/pubs/tebiodiv/bats/assets/batsml20-11.jpg
http://www.bahnhof.se/~pettersson/psonan.html

spectres d’absorption

http://www.nicolet.com/labsys/NICmain.html
http://www.univ-reims.fr/Externes/AVH/s5001.htm
http://www-ensps.u-strasbg.fr/phys-ex/manips/MICHELSO/

rmn de molécules

http://www.cryst.bbk.ac.uk/PPS2/projects/schirra/html/2dnmr.htm
http://www.cis.rit.edu/htbooks/nmr/