Reconstitution d'images à partir de projections

Dans ce paragraphe nous reprenons les résultats théoriques concernant les projections de Radon et nous montrons comment ils sont utilisés pour traiter les problèmes de reconstruction d'images en particulier dans des applications biomédicales comme la tomographie et l'imagerie par résonance magnétique nucléaire. Le principe de cette reconstuction est relativement simple: en fait on regarde un objet plus ou moins opaque (comme une radiographie) et on distingue donc les objets en projection. Ensuite on regarde les objets sous un autre angle, on en a donc une vue différente. On imagine bien qu'à partir de différentes vues on peut reconstruire l'objet par exemple dans un espace à deux dimensions à partir des projections vues sous des angles différents. C'est ce qui se passe dans un cas plus simple lorsqu'on fait de la triangulation: supposons que l'objet soit composé de deux points $P_1$ et $P_2$ de coordonnées $(x_1,y_1$ et $(x_2,y_2)$ dans un plan $x0y$. On mesure les projections de ces deux points sur trois plans. Si on trace les droites passant par ces projections et perpendiculaires au plan de projection, trois de ces droites se coupent en chacun des deux points $P_1$ et $P_2$. Il n'y a pas d'autres points par lesquels passent trois droites.

Figure 32: Trois projections d'un objet composé de deux points permettent par de retrouver la forme de l'objet, c'est à dire les coordonées des deux points dans l'espace $x0y$

Le principe de reconstruction en tomographie n'est pas exactement celui là, mais les idées sont assez semblable. Nous allons en décrire la formalisation.