Filtrage des signaux aléatoires échantillonnés

Soient deux signaux $u(t)$ et $v(t)$ filtrés respectivement par $A(z)$ et $B(z)$ (fig.67)

Figure 67: Deux signaux aléatoires filtrés

$$A(z)=\sum_{t=-\infty}^{\infty}a(t)z^{-t}$$ (305)

$$B(z)=\sum_{t=-\infty}^{\infty}b(t)z^{-t}$$ (306)

pour produire deux signaux $x(t)$ et $y(t)$

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a(k)u(t-k)$$ (307)

$$y(t)=\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}b(\ell)v(t-\ell)$$ (308)

On calcule la fonction d'intercorrélation des sorties

$$r_{xy}(\tau)=E[x(t)y(t+\tau)]=E[\sum_{k=-\infty}^{\infty}a(k)u(t-k)\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}b(\ell)v(t-\ell+\tau)]$$ (309)

qu'on réécrit

$$r_{xy}(\tau)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a(k)\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}b(\ell)E[u(t-k)v(t-\ell+\tau))]$$ (310)

On suppose que $u(t)$ et $v(t)$ sont stationnaires et que leur fonction d'intercorrélation est $r_{uv}(\tau)$

$$r_{xy}(\tau)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a(k)\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}b(\ell)r_{uv}(\tau+k-\ell)$$ (311)

L'intercorrélation de $x(t)$ et $y(t)$ ne fait pas intervenir $t$. Ces deux signaux sont aussi conjointement stationnaires. Leur fonction d'intercorrélation est obtenue en effectuant une double convolution: premièrement, la fonctin $r_{uv}(\tau)$ est convoluée avec la réponse impulsionnelle $b(\ell)$ pour engendrer un signal $r_{uy}(\tau)$

$$r_{uy}(\tau)=\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}b(\ell)r(\tau-\ell)$$ (312)

puis on filtre cette fonction par le signal $a(-k)$ obtenu à partir de $a(k)$ en changeant le sens du temps

$$r_{xy}(\tau)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a(k)r_{xy}(\tau+k)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a(-k)r_{xy}(\tau-k)$$ (313)

Cette double convolution s'exprime, en termes de transformées en $z$.

$$R_{uy}(z)=B(z)R_{uv}(z)$$ (314)

$$R_{xy}(z)=A(z^{-1})R_{uy}(z)$$ (315)

$$R_{xy}(z)=A(z^{-1})B(z)R_{uv}(z)$$ (316)

Dans le cas particulier où les deux signaux d'entrée sont identiques ($u(t)=v(t)$) ainsi que les deux filtres ($A(z)=A(z)$)

$$R_{xx}(z)=A(z^{-1})A(z)R_{uu}(z)$$ (317)

Ainsi, la densité spectrale du signal filtré est égale à la densité spectrale du signal en entrée du filtre multipliée par le carré du module de la réponse en fréquence du filtre. En utilisant cette approche, on peut retrouver le résultat (300) : on obtient le signal $x(t)$ de la section 7.3.8 en filtrant une séquence d'impulsions d'amplitude aléatoire $\pm 1$ émises à une cadence $T$ par le filtre dont la réponse impulsionnelle est le créneau

$$0\le t < T : h(t)=1$$ (318)

La densité spectrale est donnée par le carré du module de la réponse en fréquence de ce filtre, qui est bien (301).