Un exemple en transmission numérique

On considère un signal $x(t)$ constitué d'une suite de créneaux de durée $T$ et prenant aléatoirement la valeur $\pm 1$ avec la probabilité $1/2$ (fig. 64). C'est un signal couramment utilisé en télécommunications.

Figure 64: Un signal aléatoire utilisé en télécommunications.

Les instants $nT$ où la valeur de $x(t)$ peut changer dépendent de la réalisation $x(t)$: pour chaque réalisation $k$, il y a un retard aléatoire $\ell_k$ équiréparti entre $0$ et $T$. La moyenne de $x(t)$ est nulle. Deux valeurs $x(t)$ et $x(t')$ sont indépendantes si $\vert t-t'\vert\ge T$. On cherche la fonction d'autocorrélation et la densité spectrale de $x(t)$ Pour calculer

$$r(\tau)=E[x(t)x(t+\tau)]$$ (293)

On considère les deux cas $\tau<T$ et $T\le \tau$. Dans le deuxième cas, il y a au moins un changement de données entre les instants $t$ et $t+\tau$. Les valeurs de $x(t)$ et de $x(t+\tau)$ sont donc indépendantes et

$$r(\tau)=E[x(t)x(t+\tau)]=E[x(t)]E[x(t+\tau)]=0$$ (294)

On vérifie a posteriori que $r(\tau)$ ne dépend pas de $t$, $x(t)$ est donc un signal stationnaire. Dans le premier cas, $x(t)$ conservera sa valeur si les instants $t$ et $t+\tau$ appartiennent au même intervalle de durée $T$ et

$$E[x(t)x(t+\tau)]=1.$$ (295)

La probabilité de ce cas de figure est $\frac{T-\tau}{T}$: il faut que

$$0\le t < T-\tau$$ (296)

Si ce n'est pas le cas, $x(t+\tau)$ sera une variable indépendante de $x(t)$. Cette situation se produit lorsque

$$T-\tau\le t< T$$ (297)

$x(t)x(t+\tau)$ prend donc la valeur $1$ avec la probabilité $\frac{\tau}{2T}$ et la valeur $-1$ avec la probabilité $\frac{\tau}{2T}$

$$r(\tau)=E[x(t)x(t+\tau)]=1.\frac{T-\tau}{T}+1.\frac{\tau}{2T}-1.\frac{\tau}{2T}$$ (298)

$$r(\tau)=\frac{T-\tau}{T}$$ (299)

La fonction d'autocorrélation étant symétrique

$$\vert\tau\vert<T : r(\tau)=\frac{T-\vert\tau\vert}{T}$$

$$\vert\tau\vert\ge T : r(\tau)=0$$ (300)

La densité spectrale de ce signal est donnée par la transformée de Fourier de $r(\tau)$ (fig. 65). La transformée d'une fonction ``triangle'' de largeur $2T$ est la transformée d'une convolution d'une fonction créneau de largeur $T$ par elle-même. Par conséquent, la transformée de Fourier d'une convolution étant un produit, la transformée de Fourier de $r(\tau)$ est

$$R(\omega)=\left[\int_{-T/2}^{T/2}\exp (-j\omega dt\right]^2=\left[\frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}\right]^2$$ (301)

Figure 65: Autocorrélation et densité spectrale d'un signal télégraphique .