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Calcul de la fonction d'autocorrélation à partir de la densité spectrale

Un échantillon de la fonction d'autocorrélation peut être calculé par la transformée de Fourier inverson (ou la transformée en $z$ inverse si on suppose, ce qui est toujours le cas en pratique, que le cercle de rayon un appartient au domaine de convergence de cette transformée inverse).
\begin{displaymath}
r(\tau)=\frac{1}{2\pi j}\oint_CR(z)z^\tau\frac{dz}{z}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}R(e^{j\omega})e^{j\omega
\tau}d\omega
\end{displaymath} (291)

En particulier, si on effectue le calcul pour $\tau=0$, on obtient le théorème de Parseval
\begin{displaymath}
E[(x^2(t)]=r(0)=\frac{1}{2\pi j}\oint_CR(z)\frac{dz}{z}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}R(e^{j\omega})d\omega
\end{displaymath} (292)

L'énergie du signal est donnée par l'intégrale de la densité spectrale.

Leroux Joel
2000-11-14