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Autres représentations des systèmes

Il existe d'autres formulations que la réponse impulsionnelle pour représenter les SLIT, par exemple sous la forme d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Ainsi l'évolution d'un système du premier ordre comme la tension aux bornes d'un condensateur de capacité $C$ (fig. 9) peut s'exprimer en utilisant la représentation
\begin{displaymath}
RC\frac{dy}{dt}+y(t)=x(t)
\end{displaymath} (9)

La réponse impulsionnelle de ce système est obtenue en appliquant à l'entrée une impulsion de Dirac. En supposant que $y(t)=0$ pour les temps négatifs, on trouve que
$\displaystyle t<0$ $\textstyle :$ $\displaystyle h(t)=0$  
$\displaystyle t\ge 0$ $\textstyle :$ $\displaystyle h(t)=\frac{1}{RC}\exp-t/RC$ (10)

La valeur du coefficient multiplicatif ($1/RC$) caractérisant l'amplitude de la réponse impulsionnelle est obtenue en remplaçant l'impulsion de Dirac par un créneau de longueur $\varepsilon$ et de hauteur $1/\varepsilon$. On résoud l'équation différentielle puis on fait tendre $\varepsilon$ vers 0. Si le système est au repos ($y(t)=0$ pour $t=0$), il est alors équivalent de résoudre l'équation différentielle ou de calculer le résultat de la convolution de l'entrée $x(t)$ par $h(t)$. Il est aussi possible de représenter les systèmes sous la forme de transformées de Fourier ou de Laplace, ce que nous verrons dans le paragraphe suivant.

Figure: Exemple classique de système linéaire représenté par un filtre du premier ordre de réponse impulsionnelle de forme exponentielle $\exp -t/RC$
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}(10.,4.4)
% multiput(0,0)(0,1)\{...
...t)$}
%fichier mathcad : sicad1.mcd
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

Ce calcul de moyenne met en évidence les fluctuations lentes (les fréquences basses) et atténue les fluctuations rapides (les hautes fréquences).
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Leroux Joel
2000-11-14