Fonction d'autocorrélation

On s'intéresse aux corrélations entre les valeurs de $x(t)$ prises à deux instants différents $t_1$ et $t_2$,

$$\rho(t_1,t_2)=E[x(t_1)x(t_2)]$$ (229)

Si $x(t)$ est un signal stationnaire au deuxième ordre, sa fonction d'autocorrélation ne dépend que de la différence $(t_1-t_2)$.

$$r(\tau)=E[x(t)x(t+\tau)]$$ (230)

L'inégalité de Schwarz permet de montrer que

$$r^2(\tau)\le E[x^2(t)]E[x^2(t+\tau)]$$ (231)

$$r^2(\tau)\le \sigma^2=r(0)$$ (232)

La fonction d'autocorrélation passe par son maximum pour $\tau=0$. Si on calcule

$$r(-\tau)=E[x(t)x(t-\tau)]$$ (233)

et qu'on pose

$$u=t-\tau$$ (234)

$$r(-\tau)=E[x(u+\tau)x(u)]=r(\tau)$$ (235)

La fonction d'autocorrélation est une fonction symétrique. C'est aussi une fonction définie positive: dans la mesure où une fonction $f(t)$ autorise le calcul de l'intégrale

$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)r(t-t')f(t')dtdt'\ge0,$$ (236)

cette intégrale est toujours positive ou nulle. En général cette fonction d'autocorrélation tend vers zéro lorsque $\tau$ tend vers l'infini si $x(t)$ est de moyenne nulle.

Figure 58: Exemple de fonction d'autocorrélation