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Théorie des systèmes linéaires invariants dans le temps ou filtres

Figure 3: Représentation usuelle d'un système linéaire
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}(10.,3.5)
\put(0.8,1.7){\shortst...
...{0.5}}
\put(6.8,1.7){sortie $y(t)$}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

Dans de nombreuses applications fondées sur la propagation des ondes, en acoustique ou en électromagnétisme, on simplifie considérablement les problèmes étudiés en faisant des hypothèses sur la manière dont un système déforme un signal. Deux des hypothèses les plus importantes sont la linéarité et l'invariance dans le temps. Elles semblent, du moins à notre échelle, bien représenter le comportement de nombreux systèmes physiques. Lorsqu'un système est linéaire et invariant dans le temps (SLIT), on a les propriétés suivantes: si l'entrée $x(t)$ produit une sortie $y(t)$ (voir fig. 3), quand on applique une entrée $kx(t)$, la sortie sera $ky(t)$. Si deux entrées $x_1(t)$ et $x_2(t)$ engendrent deux sorties $y_1(t)$ et $y_2(t)$, alors $x_1(t) + x_2(t)$ engendrera $y_1(t) + y_2(t)$ (linéarité). S'il y a invariance dans le temps, une translation de l'entrée ( $x(t)\rightarrow x(t-\tau)$) se traduira par une même translation dans le temps de la sortie $y(t)\rightarrow y(t-\tau)$. Notez que la multiplication d'un signal par une fonction du temps est une opération linéaire, mais n'est pas une opération invariante dans le temps. Si les hypothèses de linéarité et d'invariance temporelle sont vérifiées, on peut caractériser le système par sa réponse impulsionnelle soit $h(t)$. C'est le signal qu'on obtient en sortie si on applique en entrée une impulsion ``de Dirac'' $\delta(t)$ qui a la définition suivante :
\begin{displaymath}
\int_{-A}^{A}\delta(t)f(t)dt=f(0)
\end{displaymath} (1)

Elle donne la valeur $f(0)$ de la fonction $f(t)$ à l'origine. On ne peut la formaliser correctement que dans le cadre de la théorie des distributions. De manière quelque peu incorrecte, on peut se la représenter sous la forme d'une fonction nulle en dehors d'un intervalle étroit (de largeur $\varepsilon$) entourant l'origine et d'une amplitude très grande ($1/\varepsilon$) de telle sorte que son intégrale soit égale à 1. On fait alors tendre la largeur de l'intervalle vers 0. Si un système est un SLIT caractérisé par sa réponse impulsionnelle $h(t)$, on peut en déduire l'effet d'une entrée $x(t)$ quelconque sous la forme d'une convolution
\begin{displaymath}
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau
\end{displaymath} (2)

Pour bien se représenter le calcul d'une convolution, on peut tracer simultanément les courbes représentant les fonction de $x(\tau)$ et $h(t-\tau)$ à l'instant $t$. $h(t-\tau)$ est obtenue à partir de $h(\tau)$ après avoir effectué un changement du sens des abscisses, soit $h(-\tau)$ et une translation de $t$ ce qui donne $h(t-\tau)$. On calcule ensuite l'intégrale du produit des deux fonctions (fig.4)

Figure 4: Illustration d'un calcul de convolution
\begin{figure}
\begin{picture}(0,5)
% multiput(0,0)(0,1)\{5\}\{ line(1,0)\{15\...
...x(\tau)h(t-\tau)$}
%fichier mathcad : sicad1.mcd
\end{picture}
\end{figure}

Figure 5: Transformation du signal d'entrée en forme de créneau par un système dont la réponse impulsionnelle est une exponentielle décroissante
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,5)
% multiput(...
...thcad : sicad1.mcd
\end{picture}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\end{figure}

Figure 6: Transformation du signal d'entrée en forme de créneau par un système dont la réponse impulsionnelle est une exponentielle décroissante oscillante (système du deuxième ordre)
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,5)
% multiput(...
...thcad : sicad1.mcd
\end{picture}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\end{figure}

L'écriture sous la forme d'une convolution (2) peut se justifier succintement de la façon suivante: On décompose le signal $x(t)$ sous la forme d'une somme infinie d'impulsions de Dirac en utilisant l'eq. (1)
\begin{displaymath}
x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau
\end{displaymath} (3)

Chacune de ces impulsions décalées $\delta(t-\tau)$ engendre une sortie sous la forme d'une réponse impulsionnelle décalée $h(t-\tau)$ car on suppose que le système est invariant dans le temps. Comme le système est linéaire, la sortie obtenue lorsque l'entrée est $x(t)$ est bien donnée par la convolution (2). Notez que la convolution est une opération commutative et qu'on peut écrire (2) sous la forme
\begin{displaymath}
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t-\tau)h(\tau)d\tau
\end{displaymath} (4)

Figure 7: Réponse impulsionnelle d'un filtre calculant une moyenne
\begin{figure}
\begin{picture}(10.,3.5)
\put(5,0.5){\vector(1,0){3}}
\put(8,0...
...1.5){\line(1,0){2}}
\put(7.5,0.5){\line(0,1){1.}}
\end{picture}
\end{figure}

Un exemple de filtre est le calcul de la moyenne d'un signal sur une durée $T$ (fig. 7). Dans ce cas, $h(t)$ vaut
$\displaystyle t<0$ $\textstyle :$ $\displaystyle h(t)=0$  
$\displaystyle 0\le t < T$ $\textstyle :$ $\displaystyle h(t)=1/T$  
$\displaystyle t\ge T$ $\textstyle :$ $\displaystyle h(t)=0$ (5)

et la sortie s'écrit
\begin{displaymath}
y(t)=\frac{1}{T}\int_{t-T}^{t}x(\tau)d\tau
\end{displaymath} (6)

Ce calcul de moyenne met en évidence les variations lentes dans le signal (fig. 8).

Figure 8: Transformation d'un bruit par un système calculant une moyenne sur une durée de temps égale à 16. Ce calcul de moyenne met en évidence les fluctuations lentes (les fréquences basses) et atténue les fluctuations rapides (les hautes fréquences)
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,4.5)
% multipu...
...thcad : sicad1.mcd
\end{picture}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\end{figure}



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Leroux Joel
2000-11-14