La transformée en cosinus

Pour information nous donnerons la formule de la transformée en cosinus, utilisée en codage de sons et d'images, qui n'est qu'un cas particulier de la transformée de Fourier où on construit à partir d'un signal $x(t)$ de longueur $T$ un signal $y(t)$ de longueur $4T$ symétrique dont les échantillons d'ordre pair sont nuls, ce qui se traduit par les formules suivantes: Pour $k=0,\cdots,N-1$ :

$$y(2k)=y(-2k)=0$$ (188)

$$y(2k+1)=y(-2k-1)=x(k)$$

Dans ce cas le calcul de la transformée de Fourier discrète de $y(t)$ se réduit au calcul de $T$ valeurs Pour $k=0,\cdots,N-1$ :

$$X(k)=\frac{2}{T}c(k)\sum_{t=0}^{T-1}x(t) \cos\left(\pi\frac{(2t+1)k}{2N}\right)$$ (189)

La transformée inverse est Pour $t=0,\cdots,N-1$ :

$$x(t)=\sum_{k=0}^{T-1} c(k)X(k)\cos\left(\pi\frac{(2t+1)k}{2N}\right)$$ (190)

où $c(k)=2^{-1/2}$ si $k=0$ et$c(k)=1$ si $k\ne 0$.