La transformée inverse

A partir de l'amplitude complexe des harmoniques on peut reconstituer le signal périodique $y(t)$ et donc le signal $x(t)$ pour $0\le t \le T-1$. On a donc

$$x(t)=\sum_{k=0}^{T-1}X(k)e^{2\pi j\frac{kt}{T}}$$ (174)

On peut vérifier directement la validité de cette reconstruction en remplaçant $X(k)$ par sa valeur (173). Si on calcule $x'(t)$

$$x'(t)=\sum_{k=0}^{T-1}\left[\frac{1}{T}\sum_{n=0}^{T-1}x(n)e^{-2\pi j\frac{kn}{T}}\right] e^{2\pi j\frac{kt}{T}}$$ (175)

En échangeant l'ordre des sommations, on obtient

$$x'(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=0}^{T-1}x(n)\sum_{k=0}^{T-1}e^{2\pi j\frac{k(t-n)}{T}}$$ (176)

Or, d'après les propriétés des séries géométriques

$$t\ne n : \sum_{k=0}^{T-1}e^{2\pi j\frac{k(t-n)}{T}}=0$$ (177)

$$t= n : \sum_{k=0}^{T-1}e^{2\pi j\frac{k(t-n)}{T}}=T$$ (178)

Le signal ainsi reconstruit est bien égal au signal original

$$x'(t)=x(n)$$ (179)

Remarque: La transformée de Fourier discrète n'est pas symétrique de son inverse. Il est parfois commode de remplacer dans la transformée directe le facteur $1/T$ par $(1/T)^{1/2}$ et d'introduire le même facteur dans la transformée inverse. L'opérateur de transformation est alors une matrice unitaire, son inverse est égale à la transposée de sa conjuguée.