La transformée de Fourier discrète

Soit le signal échantillonné $x(t)$ nul en dehors de l'intervalle $0,\cdots,T-1$ et $X'(e^{j\theta})$ sa transformée de Fourier. On rend ce signal périodique en le reproduisant après translation de $T$, $2T$, $3T$, etc... Pour tout $n$ pour tout $0\le t \le T-1$

$$y(t+nT)=x(t)$$ (171)

La transformée de Fourier $Y(e^{j\theta})$ de $y(t)$ est nulle sauf aux fréquences multiples de $2\pi /T$. Comme c'est la transformée de Fourier d'un signal échantillonné, elle est aussi périodique de période $2\pi$ si on prend le pas d'échantillonnage égal à un. La connaissance de $Y(e^{j\theta})$ aux fréquences multiples de $2\pi /T$ suffit donc pour caractériser le signal périodisé $y(t)$ et donc le signal original $x(t)$.

Figure 51: Illustration de l'aspect périodique et échantillonné des signaux et de leurs transformées de Fourier discrètes. Sur la première ligne le signal est échantillonné dans le domaine temporel, sa transformée de Fourier est périodique. Sur la deuxième ligne, le signal temporel est périodique, sa transformée de Fourier est composées uniquement d'harmoniques, elle est donc échantillonnée. Sur la troisième ligne, le signal temporel est échantillonné, sa transformée est périodique et comme la transformée est échantillonnée car c'est une transformée de Fourier discrète, le signal temporel est lui aussi périodique: il y a échantillonnage et périodicité à la fois dans le domaine temporel et dans le domaine des fréquences

La formule donnant $Y(e^{j\theta})$ pour les valeurs de $\theta=2k\pi/T$ est ainsi

$$Y(e^{2\pi j\frac{k}{T}})=\frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}x(t)e^{-2\pi j\frac{kt}{T}}$$ (172)

La notation $Y(e^{2\pi j\frac{k}{T}})$ est commode pour établir un lien avec la transformée en $z$. Nous la remplacerons par la notation moins lourde

$$X(k)=\frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}x(t)e^{-2\pi j\frac{kt}{T}}$$ (173)

C'est le produit d'une matrice par un vecteur qui transforme le vecteur $x(t)$ en un vecteur $X(k)$ de même dimension.