Représentation d'état

Les systèmes linéaires sont un outil important en automatique. Dans ce cas on considère souvent des systèmes où l'entrée est un vecteur fonction du temps et non un scalaire. Soit $u(t)$ cette entrée. Elle agit sur les sorties du système par une action intermédiaire sur l'état de ce système. On peut dire que les composantes du vecteur d'état d'un système représentent les informations qu'il faut connaître sur le passé de ce système pour pouvoir calculer l'évolution future du système en fonction des commandes qui lui seront appliquées. On a ainsi les équations

$$x(t) = Ax(t-1)+Bu(t) \mbox{ équation de transition}$$

$$y(t) = Cx(t)+Du(t) \mbox{ équation de mesure}$$ (168)

Figure 50: Représentation d'état d'un filtre numérique

Un filtre récursif peut se représenter en utilisant ce formalisme: $u(t)$ est alors un scalaire, $x(t)$ un vecteur à $p$ composantes, $y(t)$ est un scalaire $A$ est une matrice de dimension $p$ et s'écrit alors en fonction des coefficients du polynôme $A(z)$

$$A=\left[\begin{array}{*{8}{c}} 0&1&0&\cdots&\cdots&\cdots&... ...ots&\cdots&\cdots&\cdots&-a(p-1)&-a(p)\\ \end{array}\right]$$ (169)

et les autres matrices sont

$$B = \left[1,0,\cdots,0\right]^T \mbox{ vecteur de }p\mbox{ lignes}$$

$$C = \left[1,0,\cdots,0\right] \mbox{ vecteur ligne de }p\mbox{ colonnes}$$

$$D = 0$$ (170)

Un système linéaire représenté sous forme d'état et invariant dans le temps est stable si les valeurs propres de la matrice de transition $A$ ont toutes un module inférieur à un. Un calcul du déterminant de $A-I\lambda$ montre que ces valeurs propres sont égales aux racines du polynôme $z^p A(z)$. C'est la même condition de stabilité que celle donnée dans le cas des filtres récursifs. Un problème spécifique des filtres récursifs est liée au fait que les calculs sont effectués en précision finie et que le système est bouclé: il peut apparaître des phénomènes oscillants dûs à ce bouclage et à la quantification.