Différentes décompositions possibles

Elle nécessite une quantité de mémoire qui peut être réduite (fig. 46) et donne exactement le même résultat. On a noté dans cette figure l'opération de mémorisation comme un retard d'un échantillon représenté par sa transformée en $z$ soit $z^{-1}$.

Figure 46: Structure de filtre récursif minimisant le nombre de données à mémoriser

On peut aussi décomposer la fraction rationnnelle $\frac{B(z)}{A(z)}$ de différentes manières. Par exemple on aura une décomposion en cellules parallèles de la manière suivante. On effectue une décomposition en éléments simples de $\frac{B(z)}{A(z)}$ et on applique chacun des filtres au signal $x(t)$. Le signal $y(t)$ est alors obtenu en additionnant les sorties des différents filtres (fig. 47a). La manière d'effectuer cette décomposition est unique. Les éléments de la structure peuvent être des filtres du premier ordre, si on accepte d'effectuer les calculs sur le corps des complexes. Si on veut effectuer des calculs avec des nombres réels, la décomposition utilisera des fractions rationnelles de degré un lorsque les pôles sont réels et de degré deux lorsque les pôles sont regroupés par paires de pôles imaginaires conjugués. On peut aussi effectuer une décomposition de $\frac{B(z)}{A(z)}$ sous la forme d'un produit de fractions rationnelles de degré un ou deux. On peut dans cette structure série (fig. 47b), choisir l'appariement des pôles et des zéros de chaque cellule et l'ordre dans lequel on effectue les calculs de manière à optimiser la précision des calculs.

Figure 47: Structure parallèle (a) et structure série (b) des filtres récursifs