next up previous contents
suivant: exemples de filtres du monter: Les filtres à réponse précédent: Stabilité des filtres récursifs   Table des matières

Analyse de la stabilité du filtre récursif : l'algorithme de Schur-Cohn

Pour savoir si un filtre récursif est stable ou non, il faut compter le nombre de racines de son dénominateur $z^p A(z)$ à l'extérieur du cercle de rayon un. Nous présentons ici un algorithme classique qui permet de savoir si ce nombre est nul. On se donne un polynôme $z^pA_p(z)$ de degré $p$ ($a(0)=1$)
\begin{displaymath}
z^pA_p(z)=a(0)z^p+a(1)z^{p-1}+\dots+a(p-1)z+a(p)
\end{displaymath} (145)

On construit un polynôme dont les coefficients sont ceux de $z^pA_p(z)$ pris en sens inverse
\begin{displaymath}
z^p A_p^*(z)=a(p)z^p+a(p-1)z^{p-1}+\dots+a(1)z+a(0)
\end{displaymath} (146)

ou encore
\begin{displaymath}
z^p A_p^*(z)=A_p(z^{-1})
\end{displaymath} (147)

On construit ensuite un polynôme de degré $p-1$ et dont le coefficient du terme de plus haut degré vaut 1:
\begin{displaymath}
z^{p-1}A_{p-1}(z)=a_{p-1}(0)z^{p-1}+a_{p-1}(1)z^{p-2}+\dots+a_{p-1}(p-2)z+a_{p-1}(p-1)
\end{displaymath} (148)

en effectuant une combinaison linéaire des polynômes $z^pA_p(z)$ et $z^p
A_p^*(z)$. On pose
\begin{displaymath}
k_{p-1}=a_p
\end{displaymath} (149)

et on calcule le polynôme de degré $p-1$ tel que le coefficient de son terme de plus haut degré $a_{p-1}(0)$ soit égal à un :
\begin{displaymath}
z^{p-1}A_{p-1}(z)=\frac{z^{-1}}{1-k_{p-1}^2}\left[z^pA_p(z)-k_{p-1}z^p A_p^*(z)\right]
\end{displaymath} (150)

(le facteur $z^{-1}$ traduit la réduction de degré.) On réitère cette opération jusqu'à ce que le degré du polynôme $A_0(z)$ soit nul. On obtient ainsi une séquence $k_{p-1},\dots,k_{0}$. Alors le polynôme $z^pA_p(z)$ a toutes ses racines strictement inférieures à un en module si et seulement si tous les coefficients $k_0,k_1,\dots,k_{p-1}$ sont compris entre $-1$ et$+1$. Si un des coefficients $k_m$ a un module égal à un, $z^pA_p(z)$ a au moins une racine à l'extérieur du cercle de rayon un, le filtre récursif $1/A_p(z)$ est un filtre instable.
next up previous contents
suivant: exemples de filtres du monter: Les filtres à réponse précédent: Stabilité des filtres récursifs   Table des matières
Leroux Joel
2000-11-14