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Stabilité des filtres récursifs

Nous supposerons que le filtre étudié est causal. Pour qu'un filtre soit stable, il faut que la somme des modules des échantillons de sa réponse impulsionnelle soit finie
\begin{displaymath}
\sum_{k=0}^{\infty}\vert h(k)\vert<M
\end{displaymath} (143)

Le module de la transformée en $z$, $\vert H(z)\vert$ calculé pour $\vert z\vert>1$ vérifie
\begin{displaymath}
\vert H(z)\vert<\sum_{k=0}^{\infty}\vert h(k)z^{-k}\vert<\sum_{k=0}^{\infty}\vert h(k)\vert<M
\end{displaymath} (144)

Le module de $H(z)$ doit donc être borné pour $\vert z\vert>1$. $H(z)$ ne doit pas avoir de pôles à l'extérieur du cercle de rayon unité. Un filtre récursif ne sera stable que si tous ses pôles sont à l'intérieur du cercle de rayon un. Dans le cas des fonctions de transfert causales et rationnelles de degré fini, si les pôles sont tous à l'intérieur du cercle de rayon 1, une décomposition en éléments simples et un calcul de transformée en $z$ inverse montre que la réponse impulsionnelle est alors une somme d'exponentielles décroissantes: le filtre est toujours stable. Remarque. Exactement comme dans le cas des filtres à réponse impulsionnelle finie, la position des zéros de la fonction de transfert (les racines du polynôme numérateur) n'influence pas la stabilité du filtre.
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Leroux Joel
2000-11-14