Les filtres à réponse impulsionnelle infinie

Il est possible dans un cas particulier de réaliser des filtres dont la réponse impulsionnelle a un nombre infini d'échantillons, mais ceci nécessite l'expression de la sortie du filtre sous la forme d'une équation récurrente liant $y(t)$ aux échantillons précédemment calculés $y(t-1), y(t-2),\dots$ et aux échantillons du signal d'entrée, $x(t), x(t-1), x(t-2), \dots$. Considérons par exemple l'équation récurrente suivante, en supposant que les valeurs des conditions initiales $y(-1),y(-2),\dots,y(-p)$ sont nulles:

$$y(t)=\sum_{k=0}^q b(k)x(t-k)-\sum_{i=0}^p a(i)y(t-i)$$ (129)

On définit les polynômes

$$B(z)=\sum_{k=0}^q b(k)z^{-k}$$ (130)

$$A(z)=\sum_{i=0}^p a(i)z^{-i}\mbox{ où } a_0=1$$ (131)

Si on connait la valeur de la transformée en $z$ de $x(t)$ , on peut calculer la transformée en $z$ de l'équation récurrente

$$Y(z)=\sum_t y(t)z^{-t}=\sum_t\left[\sum_{k=0}^q b(k)x(t-k)z^{-t}-\sum_{i=1}^p a(i)y(t-i)\right]z^{-t}$$ (132)

qu'on peut aussi écrire

$$Y(z)=\sum_t y(t)z^{-t}=\sum_t\left[\sum_{k=0}^q b(k)z^{-k}x(t-k)z^{-(t-k)}-\sum_{i=1}^p a(i)z^{-i}y(t-i)z^{-(t-i)}\right]$$ (133)

$$Y(z)=\sum_t y(t)z^{-t}=\left[\sum_{k=0}^q b(k)z^{-k}X(z)-\sum_{i=1}^p a(i)z^{-i}Y(z)\right]$$ (134)

et en remarquant que la valeur de la transformée en $z$ de l'opérateur retard est $z^{-1}$ on obtient

$$Y(z)=\frac{B(z)}{A(z)}X(z)$$ (135)

Dans le domaine des transformées en $z$, la réponse du filtre n'est plus un polynôme mais une fraction rationnelle. Dans ce cas le filtre n'est pas toujours stable. Nous verrons dans un prochain paragraphe une méthode pour analyser la stabiité d'un filtre récursif (autre terme pour nommer les filtres à réponse impulsionnelle infinie). L'écriture complète de la transformée $Y(z)$ nécessite la connaissance des valeurs des conditions initiales $x(-q),\dots,x(-1)$, $y(-p),\dots,y(-1)$ que nous avions supposées égales à zéro. La transformée en $z$ du signal $x_k(t)$ égal à $x(t-k)$ pour $t\ge0$ et nul pour t<0 est données par la formule connue sous le nom du théorème de l'avance

$$X_k(z)=z^kX(z)+x(-1)z^{k-1}+x(-2)z^{k-2}+\dots+x(-k)$$ (136)

que nous noterons sous sous la forme

$$X_k(z)=z^kX(z)+x(z,k)$$ (137)

où $X(z)$ est la transformée en $z$ du signal causal $x(0), x(1), \dots,x(t),\dots$. De même

$$Y_i(z)=z^iY(z)+y(-1)z^{i-1}+y(-2)z^{i-2}+\dots+y(-i)$$ (138)

que nous noterons sous sous la forme

$$Y_i(z)=z^iY(z)+y(z,i)$$ (139)

La transformée en $z$ de l'équation récurrente prenant en compte les conditions initiales s'écrit

$$Y(z)=\sum_{k=0}^{q}b(k)[z^kX(z)+x(z,k)]-\sum_{i=1}^{p}a(i)[z^iY(z)+y(z,i)]$$ (140)

soit

$$Y(z)=\sum_{k=0}^{q}b(k)[z^kX(z)+x(z,k)]-\sum_{i=1}^{p}a(i)[z^iY(z)+y(z,i)]$$ (141)

$$Y(z)=\frac{1}{A(z)}\left[B(z)X(z)+\sum_{k=0}^{q}b(k)x(z,k)-\sum_{i=1}^{p}a(i)y(z,i)\right]$$ (142)

Les conditions initiales se traduisent par des modifications du numérateur de la fonction de transfert mais ne modifient pas les pôles qui, eux ne proviennent que des pôles de $X(z)$ et $A(z)$.