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Filtre à déphasage minimal

Si $z^qB(z)$ a toutes ses racines à l'intérieur du cercle de rayon un on obtient un filtre qui retarde moins le signal que tous les filtres $B'(z)$ tels que
\begin{displaymath}
\vert B'(e^{j\theta})\vert=\vert B(e^{j\theta})\vert
\end{displaymath} (127)

mais pour lesquels $z^qB'(z)$ a au moins une racine à l'extérieur du cercle de rayon un: pour chacune des racines $z_0$ de $B(z)$, le remplacement de $z_0$ par $1/\overline{z_0}$ ne modifie pas la forme du module de $B(z)$ au facteur $1/z_0$ près:
$\displaystyle \vert 1-\frac{1}{\overline{z_0}}e^{-j\theta}\vert$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\vert\overline{z_0}\vert}\vert\overline{z_0}-e^{-j\theta}\vert$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\vert\overline{z_0}\vert}\vert 1-\overline{z_0}e^{j\theta}\vert$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\vert\overline{z_0}\vert}\vert 1-{z_0}e^{-j\theta}\vert$ (128)

Le filtre dont la réponse impulsionnelle est composé des deux échantillons $\{1,-z_0\}$ retarde moins le signal que le filtre composé des deux échantillons $\{-z_0,1\}$: en moyenne le premier le retarde au plus d'un ``demi-échantillon'' tandis que le second le retarde au moins d'un demi-échantillon. De plus, le filtre récursif inverse aura tous ses pôles à l'intérieur du cercle de rayon un; ce sera un filtre stable (voir le paragraphe suivant 5.4 consacré à ce type de filtres).
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Leroux Joel
2000-11-14