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Interprétation de l'effet du filtre dans le domaine des fréquences

La valeur de la réponse en fréquence du filtre $B(z)$ est donnée par la valeur de $B(e^{j\theta})$ sur le cercle de rayon 1 : $\theta$ variant de $-\pi$ à $\pi $, ce qui correspond à une variation de $-\omega_e/2$ à $\omega_e/2$. Considérons le cas où les coefficients de $B(z)$ sont complexes pour $q=1$. $zB(z)$ a une racine complexe située sur le cercle de rayon un, $z_0=-e^{j\theta_0}$ et $B(e^{j\theta})$ s'annulera pour $\theta=\theta_0 +\pi$.

Figure 32: Zéro d'un filtre du premier ordre à coefficient complexe
\begin{figure}
\begin{picture}(0,4.3)
% multiput(0,0)(0,1)\{5\}\{ line(1,0)\{1...
...ine(1,1){0.4}}\put(3.62,3.44){\line(1,-1){0.4}}
}
\end{picture}
\end{figure}

L'allure de la réponse en fréquence, en module et en phase est donnée dans la fig. 33.

Figure 33: Module et phase de la réponse en fréquence d'un filtre non récursif du premier ordre ayant un zéro complexe sur le cercle de rayon un ( $z_0=e^{j\theta _0}$), on remarque que la phase fait un saut de $\pi $ à la fréquence donnée par la racine du filtre; ailleurs c'est une fonction linéaire de la fréquence
\begin{figure}
\begin{picture}(0,10)
% multiput(0,0)(0,1)\{10\}\{ line(1,0)\{1...
...t(-2. ,3){\special{psfile=''filtrerif01mod.eps''}}
\end{picture}
\end{figure}

Si $\theta_0$ est proche de 0, on supprime une composante fréquentielle dans le domaine des basses fréquences. Si $\theta_0$ est proche de $\pi $, on supprime une composante dans le domaine des hautes fréquences, etc.... Si la racine $z_0$ est de module différent de 1, il y aura atténuation des amplitudes dans de domaine au voisinage de $\theta_0$, mais il n'y aura pas annulation de la composante.
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Leroux Joel
2000-11-14