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Liens avec la transformée de Laplace

La transformée en $z$ est un outil analogue à la transformée de Laplace, utilisée dans l'analyse des signaux et des systèmes à temps continu. On peut généraliser le lien établi par la formule (109). Soit la transformée de Laplace inverse, permetttant de déduire $x(t)$ de $X(p)$ définie dans une bande parallèle à l'axe imaginaire dans le plan complexe autour d'un axe d'abscisse $C$
\begin{displaymath}
x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{C-j\infty}^{C+j\infty}X(p)e^{pt}dp
\end{displaymath} (113)

Aux instants d'échantillonnage
\begin{displaymath}
x(nT_e)=\frac{1}{2\pi j}\int_{C-j\infty}^{C+j\infty}X(p)e^{pnT_e}dp
\end{displaymath} (114)

Soit $Y(z)$ la transformée en $z$ du signal $x(t)$ échantillonné (pour simplifier nous supposerons que $x(t)$ est nul pour les temps négatifs
\begin{displaymath}
Y(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(nT_e)z^{-n}=\frac{1}{2\pi
j}\sum...
...left[\int_{C-j\infty}^{C+j\infty}X(p)e^{pnT_e}dp\right]z^{-n}
\end{displaymath} (115)


\begin{displaymath}
Y(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(nT_e)z^{-n}=\frac{1}{2\pi
j}\int...
...j\infty}X(p)\left[\sum_{n=0}^{\infty}e^{pnT_e}z^{-n}\right]dp
\end{displaymath} (116)

Dans un domaine où la somme sur $n$ converge
\begin{displaymath}
Y(z)=\frac{1}{2\pi
j}\int_{C-j\infty}^{C+j\infty}X(p)\frac{1}{1-e^{pT_e}z^{-1}}dp
\end{displaymath} (117)

Pour calculer cette intégrale, on utilise le théorème des résidus. Si $x(t)$ est causale et d'énergie finie, elle a tous ses pôles à partie réelle négative et $Y(z)$ vaut
\begin{displaymath}
Y(z)=\sum_{\begin{array}{c}\mbox{p\^oles}\\ \mbox{ de }X(p)\end{array}}
X(p)\frac{1}{1-e^{pT_e}z^{-1}}
\end{displaymath} (118)

Ce qui donne la façon de calculer la transformée en $z$ d'un signal échantillonné, connaissant la transformée de Laplace du signal à temps continu à partir duquel il a été créé. On peut remarquer que si $X(p)$ est une fraction rationnelle, $Y(z)$ est aussi une fraction rationnelle. Si $p_k$ est un pôle de $X(p)$, alors
\begin{displaymath}
z_k=\exp(p_k T_e)
\end{displaymath} (119)

est un pôle de $Y(z)$. En automatique ou en traitement du signal, un pôle complexe $\alpha+j\beta$ dans le plan de Laplace correspond à une résonnance caractérisée par son abscisse $\alpha$ ($\alpha<0$) qui en donne l'amortissement, et son ordonnée $\beta$ qui en donne la fréquence. Dans la transformation qui fait passer du plan de Laplace au plan ``$z$'', la résonance est conservée et ses caractéristiques sont transformées: $\exp (T_e \alpha)$ caractérise l'amortissement (amortissement faible lorsque $\exp (\alpha)$ est très proche de un, amortissement important lorsque $\exp (T_e \alpha)$ est proche de zéro. La fréquence est maintenant caractérisée par un angle $\exp(j T_e \beta)$, représentation cohérente avec celle de la transformée de Fourier: l'angle $0$ correspond à la fréquence $0$ et aux fréquences multiples de la fréquence d'échantillonnage, l'angle $\pi/2$ au quart de la fréquence d'échantillonnage, l'angle $\pi $ à la moitié de la fréquence d'échantillonnage. Si on suppose que tous les pôles de $X(p)$ sont dans une bande de fréquence $-\pi/T_e<\beta<\pi/T_e$, il y a une relation bijective entre les pôles de $X(p)$ et ceux de $Y(z)$. Cependant cette relation n'est pas vérifiée dans le cas des zéros, qui peuvent être modifiés. Il est possible d'établir la formule permettant de calculer la transformée de Laplace d'un signal à temps continu à partir de la transformée en $z$. En supposant que les pôles de $X(z)$ sont encore dans l'intervalle $[-\pi/T_e,\pi/T_e[$, ces pôles se déduisent de ceux de $Y(z)$ par
\begin{displaymath}
p_k=\frac{1}{T_e} log (z_k)
\end{displaymath} (120)

où la détermination de la partie imaginaire du logarithme est dans l'intervalle $[-\pi,
\pi[$.

Figure 31: Mise en correspondance du plan complexe dans le cas de la transformée en $z$ et de la transformée de Laplace (``$p$''); la périodicité liée à la rotation dans le plan $z$ se traduit par une répétition verticale de la bande horizontale $-\omega _e/2\le Im(p)< \omega _e/2$
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(130,100)
\thin...
...0}{80}{38}{1}{0}
}
\end{picture}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\end{figure}


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Leroux Joel
2000-11-14