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Expression du carré module de la transformée de Fourier en termes de transformée en $z$

De nombreux problèmes nécessitent l'estimation du carré du module du signal à une fréquence donnée soit $\vert X(e^{j\theta})\vert^2$. En particulier il est souvent nécessaire de calculer l'énergie d'un signal dans le domaine des fréquences. Nous avons vu dans le paragraphe 2.5.5 que l'énergie d'un signal peut se calculer aussi bien dans le domaine temporel que dans le domaine fréquenciel. Nous avons dans le cas des signaux échantillonnés une relation analogue. La transformée en $z$, $X(z)$ de la fonction d'autocorrélation $r(\tau)$ d'un signal $x(t)$
\begin{displaymath}
r(\tau)=\sum_{t=-\infty}^{\infty}x(t)x(t+\tau)
\end{displaymath} (110)

de transformée en $z$ $X(z)$ est
\begin{displaymath}
R(z)=X(z)X(z^{-1})
\end{displaymath} (111)

La valeur à l'origine de $r(\tau)$, soit $r(0)$ est l'énergie du signal
\begin{displaymath}
r(0)=\sum_{t=-\infty}^{\infty}x(t)^2=\frac{1}{2\pi j} \oint...
...2\pi
}\int_{-\pi}^{\pi} \vert X(e^{j\theta})\vert^2 d\theta.
\end{displaymath} (112)


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Leroux Joel
2000-11-14