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Relation avec la transformée de Fourier

La transformée de Fourier $Y(\omega )$ d'un signal à temps continu $x(t)$ échantillonné en $y(t)$ est une fonction périodique obtenue par addition de répliques translatées de $\omega_e=2\pi$ (nous supposons toujours que la période d'échantillonage est égale à un.)
\begin{displaymath}
Y(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-2k\pi)
\end{displaymath} (107)

On peut aussi écrire cette fonction comme étant la transformée de Fourier de la séquence des échantillons $x(n)$
\begin{displaymath}
Y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)\delta(t-n)\right]e^{-j\omega t}dt
\end{displaymath} (108)


\begin{displaymath}
Y(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega
n}=X(e^{j\omega})
\end{displaymath} (109)

La valeur de la transformée de Fourier $Y(\omega )$ du signal échantillonné $y(t)$ est donnée par la valeur de sa transformée en $z$ sur le cercle de rayon un (pour $z=e^{j\omega}$.) La graduation en fréquence du cercle de rayon est linéaire (cf. fig. 30).

Figure 30: Graduation du cercle de rayon un en fonction de la fréquence d'échantillonnage lors de la mise en correspondance de la transformée en $z$ et de la transformée de Fourier
\begin{figure}
\begin{picture}(5,5.5)
\put(4.5,0){
\put(0,2.5){\vector(1,0){5...
...){$-\omega_e/8$}
}
\end{picture}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\end{figure}



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Leroux Joel
2000-11-14