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Transformée en $z$ d'un produit, convolution circulaire

Soit le produit de fonctions
\begin{displaymath}
w(t)=x(t)y(t)
\end{displaymath} (102)

Nous supposerons que les trois transformées $X(z)$, $Y(z)$ et $W(z)$ des signaux $x(t)$, $y(t)$ et $w(t)$ sont définies sur des couronnes contenant le cercle de rayon un. Dans le cas général $W(z)$ sera défini sur l'intersection des couronnes où $X(z)$ et $Y(z)$ sont définis. Si on remplace $y(t)$ par son expression en fonction de $Y(v)$ sous la forme d'une transformée inverse (101)
\begin{displaymath}
W(z)=\sum_{t=-\infty}^{\infty}x(t)\left[\frac{1}{2\pi j}\oint_ Y(v)
v^t\frac{dv}{v}\right]z^{-t}
\end{displaymath} (103)

En commutant l'intégrale et la somme, et en effectuant les regroupements appropriés
\begin{displaymath}
W(z)=\frac{1}{2\pi j}\oint_C Y(v)\sum_{t=-\infty}^{\infty}x(t) \left(\frac{z}{v}\right)^{-t}\frac{dv}{v}
\end{displaymath} (104)

qu'on peut écrire
\begin{displaymath}
W(z)=\frac{1}{2\pi j}\oint_C Y(v)X(\frac{z}{v})\frac{dv}{v}
\end{displaymath} (105)

On peut écrire l'intégrale sur le cercle de rayon un
\begin{displaymath}
W(e^{j\theta})=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}Y(e^{j\varphi})X(e^{j(\theta-\varphi)})d\varphi
\end{displaymath} (106)

On reconnait là une opération de convolution sur des signaux périodiques; on utilise souvent l'expression `` convolution circulaire''.
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Leroux Joel
2000-11-14