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L'inverse de la transformée en $z$

La plupart du temps, l'utilisateur de méthodes de traitement numérique du signal se contente de retrouver grâce à une table la forme d'une transformée en $z$ inverse. Pour cela, on effectue les opérations suivantes. Nous supposerons que $X(z)$ s'écrit sous la forme d'une fraction rationnelle, soit
\begin{displaymath}
X(z)=P(z)+\frac{N(z)}{D(z)}
\end{displaymath} (92)

où le degré de $N(z)$ est inférieur au degré $q$ de $D(z)$. Nous supposerons que les $q$ racines $z_i$ du dénominateur $D(z)$ sont distinctes
\begin{displaymath}
D(z)=\prod_{i=1}^{q}(z-z_i)
\end{displaymath} (93)


\begin{displaymath}
i \ne k \Rightarrow z_i \ne z_k
\end{displaymath} (94)

On peut alors écrire $X(z)$ sous la forme
\begin{displaymath}
X(z)=P(z)+\sum_{i=1}^{q}\frac{\beta_i}{z-z_i}
\end{displaymath} (95)

où le ``résidu'' $\beta_i$ du pôle $z_i$ peut se calculer de différentes manières:
\begin{displaymath}
\beta_i=\left[\frac{N(z)}{\frac{dD(z)}{dz}}\right]_{z=z_i}=\lim_{z\rightarrow
z_i}(z-z_i)\frac{N(z)}{D(z)}
\end{displaymath} (96)

Le cas où les racines sont multiples est un peu plus compliqué. Nous invitons le lecteur à se référer à un ouvrage de mathématiques sur les fonctions de la variable complexe. On néglige souvent de se préoccuper du domaine de convergence de la transformée en $z$, car en traitement numérique du signal, on considère souvent implicitement que le domaine de convergence est une couronne contenant le cercle de rayon un. On peut toutefois montrer sur un exemple l'importance de ce domaine de convergence. Soit la fonction
\begin{displaymath}
X(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}
\end{displaymath} (97)

Si elle est définie à l'extérieur du cercle de rayon $\vert a\vert$ (on suppose que $\vert a\vert<1$, la fonction qui a $X(z)$ pour transformée en $z$ est
$\displaystyle t<0$ $\textstyle :$ $\displaystyle x(t)=0$  
$\displaystyle t\ge 0$ $\textstyle :$ $\displaystyle x(t)=a^t$ (98)

Au contraire, si le domaine de convergence est le disque intérieur au cercle de rayon $\vert a\vert$, le développement (98) n'est plus autorisé, car $az^{-1}>1$ et le développement correct est celui de
\begin{displaymath}
X'(z)=\frac{-a^{-1}z}{1-a^{-1}z}
\end{displaymath} (99)

nul pour les temps strictement positifs et vaut
$\displaystyle t<0$ $\textstyle :$ $\displaystyle x(t)=-a^t$ (100)

Une transformée en $z$ peut s'écrire aussi bien en fonction de la variable $z$ que de la variable $z^{-1}$. La fonction dans le domaine temporel calculée par transformée inverse dépend de la couronne où la transformée est définie. Toutefois, par souci de clarté, il vaut mieux adopter l'usage courant et ne pas hésiter dans le cas où on traite de fonctions non causales à bien le préciser dans le texte.
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Leroux Joel
2000-11-14