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Transformée d'une convolution discrète

L'opération de base en traitement numérique du signal est la convolution discrète. La convolution discrète y(t) entre deux signaux $x(t)$ et h(t) s'écrit
\begin{displaymath}
y(t)=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)
\end{displaymath} (85)

Cette convolution est une opération commutative, et on peut aussi l'écrire
\begin{displaymath}
y(t)=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}x(t-\tau)h(\tau),
\end{displaymath} (86)

forme qu'il sera préférable d'utiliser en filtrage numérique. Sa transformée en $z$ est
\begin{displaymath}
Y(z)=\sum_{t=-\infty}^{\infty}\left[\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\right]z^{-t}
\end{displaymath} (87)

soit, en introduisant artificiellement $z^{-\tau}z^{\tau}=1$
\begin{displaymath}
Y(z)=\sum_{t=-\infty}^{\infty}\left[\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)z^{-\tau}z^{\tau}z^{-t}\right]
\end{displaymath} (88)

On suppose qu'on peut changer l'ordre des sommations
\begin{displaymath}
Y(z)=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}x(\tau)z^{-\tau}\left[\sum_{t=-\infty}^{\infty}h(t-\tau)z^{-t+\tau}\right]
\end{displaymath} (89)

En posant $t-\tau=u$
\begin{displaymath}
Y(z)=\left[\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}x(\tau)z^{-\tau}\right]\left[\sum_{u=-\infty}^{\infty}h(u)z^{-u}\right]
\end{displaymath} (90)

On y reconnait $X(z)$ et $H(z)$, transformée en $z$ de $x(t)$ et $h(t)$
\begin{displaymath}
Y(z)=H(z)X(z)
\end{displaymath} (91)

En ce qui concerne les rayons de convergence, $Y(z)$ est définie sur l'intersection des deux couronnes où $X(z)$ et $H(z)$ sont définies. Dans les applications en traitement du signal, les deux couronnes contiennent en général le cercle de rayon 1, et $Y(z)$ est défini sur le cercle de rayon 1.
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Leroux Joel
2000-11-14