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Définition de la transformée en z

Dans la suite nous supposerons que le pas d'échantillonnage $T_e$ est égal à un. La ``transformée en $z$ bilatérale $X(z)$ d'un signal échantillonné $x(t)$ est
\begin{displaymath}
X(z)=\sum_{t=-\infty}^{\infty}x(t) z^{-t}
\end{displaymath} (76)

$z$ est une variable complexe. C'est la somme d'une série temporelle qui n'est définie que pour certaines valeurs de $z$. Elle ne sera en général définie que pour les valeurs de $z$ à l'intérieur d'un domaine où la série (76) converge, en général d'une couronne de rayon intérieur $r_1$ et de rayon extérieur $r_2$.

Figure 27: Exemple de fonction simple pour un calcul de transformée en $z$ par calcul de série géométrique
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,6)
% multiput(...
...oz1.eps''}}
%fichier mathcad :transformeeenz.mcd
\end{picture}
\end{figure}

Exemple : Soit le signal $x(t)$ représenté sur la figure 27

$\displaystyle t\le0$ $\textstyle :$ $\displaystyle x(t)=b^{-t}$  
$\displaystyle t\ge 0$ $\textstyle :$ $\displaystyle x(t)=a^t$ (77)

$a$ et $b$ sont deux nombres complexes de module inférieur à un. $X(z)$ s'obtient par sommation de deux séries géométriques et vaut
\begin{displaymath}
X(z)=\sum_{t=0}^{\infty}a^tz^{-t}+\sum_{t=0}^{-\infty}b^{-t}z^{-t}-1
\end{displaymath} (78)

Elle n'est définie que si ces séries convergent. La première série converge si $\vert a\vert<\vert z\vert$. La seconde série ne converge que si $\vert z\vert<1/\vert b\vert$. La couronne de convergence dans le plan complexe est comprise entre les cercles de rayon $\vert a\vert$ et $1/\vert b\vert$.

Figure 28: Domaine de convergence de $X(z)$: c'est la couronne comprise entre les cercles de rayon $a$ et $1/b$; dans la plupart des applications en traitement du signal, ce domaine contient le cercle de rayon 1
\begin{figure}
\begin{picture}(0,4.7)
\put(4,0){
\put(0,2){\vector(1,0){6}}\p...
...1/b$}
\put(6,2.2){$Re(z)$}\put(3.2,4){$Im(z)$}
}
\end{picture}
\end{figure}


\begin{displaymath}
X(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}+\frac{1}{1-bz}-1
\end{displaymath} (79)

La plupart du temps, les expressions des transformées en $z$ utilisées en traitement du signal sont des fractions rationnelles de la variable $z$. On appelle `` pôles'' les racines du dénominateur de la transformée et `` zéros'' les racines de son numérateur. Dans de nombreux calculs, les pôles sont simples. Il est alors possible d'écrire les transformées sous la forme d'une décomposition en éléments simples de cette fraction rationnelle. La transformée s'écrit alors sous la forme d'une somme de fractions dont le dénominateur est de degré un dans le cas des fonctions à coefficients complexes et de degré deux dans le cas des fonction à coefficients réels. Ce qui permet de retrouver la plupart des transformées simples. L'exemple le plus courant de transformée utilisée en traitement du signal est la transformée de la fonction $x(t)$ nulle pour $t<0$ et valant
\begin{displaymath}
x(t)=a^t \cos(\omega_0 t +\varphi)
\end{displaymath} (80)

pour $t\ge0$, $a$ étant un réel positif inférieur à un.

Figure 29: Une fonction couramment utilisées en traitement du signal, la sinusoïde amortie
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,5.6)
% multipu...
...rti.eps''}}
%fichier mathcad :transformeeenz.mcd
\end{picture}
\end{figure}

Dans ce cas, $X(z)$ est définie à l'extérieur du disque de rayon $\vert a\vert$ et vaut
\begin{displaymath}
X(z)=\frac{\cos(\varphi)-az^{-1}\cos(\omega_0-\varphi)}{1-2a\cos(\omega_0)z^{-1}+a^2 z^{-2}}
\end{displaymath} (81)

Remarques : La plupart du temps le domaine de convergence de la transformée en $z$ est une couronne qui contient le cercle de rayon un, les fonctions étudiées tendant souvent vers zéro comme une fonction exponentielle lorsque $t\rightarrow\pm\infty$. Le choix de la variable $z^{-1}$ et non $z$, est cohérent avec la définition de la transformée de Fourier. Cet opérateur représente le retard d'un échantillon. Il incite souvent à écrire les transformées des signaux causaux (nuls pour les valeurs négatives de $t$) en fonction de $z^{-1}$ et non de $z$. Lorsque le signal est non causal (lorsqu'il a des composantes pour $t<0$, on écrit souvent ces composantes en fonction de la variable $z$. Cependant, la notion ce causalité est contenue dans le domaine de convergence et non dans la formule donnant la transformée en $z$ qui peut s'écrire aussi bien en fonction de la variable $z$ que de la variable $z^{-1}$.
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Leroux Joel
2000-11-14