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La quantification des signaux

Pour effectuer un traitement numérique, il est nécessaire que les signaux soient représentés par un nombre fini de données binaires: Cette contrainte impose non seulement l'échantillonnage des signaux, mais aussi la quantification des valeurs mesurées après échantillonnage. (Il arrive, en téléphonie par exemple, qu'avant quantification, le signal subisse un prétraitement : on le multiplie par un gain fonction logarithmique de son amplitude, de manière à diminuer la dynamique des données à traiter ou à transmettre.) Les données sont initialement numérisées en ``virgule fixe'', avec en général une représentation du signe en complément à deux (cf. fig. 25.) La précision des données au moment de l'échantillonnage est de l'ordre de $2^{-8}$ en téléphonie ou en codage d'image à $2^{-14}$, rarement plus du fait des bruits perturbant les mesures.

Figure 25: Fonction de quantification d'un convertisseur à trois bits
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}(3,4)
\put(-2,0){
\put(0,2){\ve...
...
\put(4.5,3.5){\line(1,0){1.5}}
}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

On obtient l'ordre de grandeur du bruit de quantification de la manière suivante. La fonction de quantification est une fonction en escalier (fig. 25). Nommons $q$ le pas de quantification. Supposons que l'erreur de quantification soit centrée (ce qui peut s'obtenir en soustrayant une constante $q/2$ au signal avant échantillonnage. L'amplitude de l'erreur de quantification en fonction de l'amplitude du signal initial est une fonction en dents de scie (fig. 26.)

Figure 26: Erreur de quantification d'un convertisseur à trois bits, après centrage du signal initial
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}(3,4)
\put(-2,0){
\put(0,2){\ve...
...put(4.25,2.25){\line(1,-1){1.5}}
}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

On suppose que l'erreur de quantification est équirépartie dans l'intervalle $]-q/2,q/2[$, sa densité de probabilité $p(b)$ valant $1/q$. La variance de l'erreur de quantification est
\begin{displaymath}
E(b^2)=\int_{-q/2}^{q/2}b^2p(b)db=\frac{1}{q}\int_{-q/2}^{q/2}b^2db=\frac{q^2}{12}
\end{displaymath} (74)

L'écart-type correspondant est
\begin{displaymath}
\sqrt{E(b^2)}=\frac{q}{\sqrt{12}}\approx 0.29 q
\end{displaymath} (75)

Dès que cela est possible, on effectue les traitements numériques en ``flottant'' pour éviter les problèmes de débordement. La précision relative des résultats de calculs est donnée par la taille de la mantisse. Par exemple, si la mémorisation se fait sur 64 bits, la mantisse (signe compris) pourra être codée sur 48 bits ce qui correspond à une précision de $2^{-48}$, soit de l'ordre de $10^{-15}$. Notons aussi que l'addition ou la soustraction de deux nombres d'amplitudes très différentes donne un résultat imprécis. Il est toujours utile d'avoir une idée de l'ordre de grandeur des données qu'on traite dans un programme ainsi que de la précision qu'on envisage sur les résultats.
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Leroux Joel
2000-11-14