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Reconstruction idéale

Si les hypothèses d'application du théorème de Shannon sont vérifiées, il y a une relation bijective entre les composantes du signal à temps continu et celles du signal échantillonné qui sont dans la bande $]-\omega_e/2,\omega_e/2[$ et on connait la bande de fréquences du signal original. Pour reconstituer $x(t)$, il suffit de filtrer le signal échantillonné, $y(t)$, par un filtre $H(\omega)$ dont la réponse en fréquence est constante et vaut $2\pi/\omega_e$ dans la bande $]-\omega_e/2,\omega_e/2[$, et vaut zéro en dehors de cette bande. La réponse impulsionnelle de ce filtre s'obtient par transformée de Fourier inverse du créneau;

Figure: Fonction d'interpolation idéale de la forme $\frac{sin \pi t}{\pi t}$ pour la reconstruction d'un signal à temps continu à partir de ses échantillons
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,6.)
% multiput...
...spt.eps''}}
}
%fichier mathcad : repliement.mcd
\end{picture}
\end{figure}


\begin{displaymath}
h(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}H(\omega)\exp(j\o...
...e/2}^{\omega_e/2}\frac{2\pi}{\omega_e}\exp(j\omega
t)d\omega
\end{displaymath} (71)


\begin{displaymath}
h(t)=\frac{\exp(j\omega_e
t/2)-\exp(-j\omega_e
t/2)}{j t \omega_e}=\frac{\sin \omega_e t/2}{\omega_e t/2}
\end{displaymath} (72)


\begin{displaymath}
h(t)=\frac{\sin \left(\pi t/{T_e}\right)}{\pi t/{T_e}}
\end{displaymath} (73)

Cette réponse impulsionnelle n'est pas causale et elle tend relativement lentement vers zéro lorsque $t$ tend vers l'infini. Son utilisation pratique ne peut être que rarement envisagée: il faut accepter un retard conséquent dans la reconstruction du signal à temps continu, et effectuer une quantité de calculs importante du fait de la lenteur de la convergence.

Figure 24: Reconstruction d'un signal à partir de trois échantillons en utilisant le filtre idéal; on remarque qu'aux instants d'échantillonnage une seule des composantes de la somme est non nul: le signal reconstruit prend bien pour valeurs les valeurs des échantillons à ces instants
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,5.5)
% multipu...
...tion.eps''}}
}
%fichier mathcad :repliement.mcd
\end{picture}
\end{figure}


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Leroux Joel
2000-11-14