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Reconstruction du signal à temps continu à partir des échantillons

L'opération d'addition des reproductions décalées de la transformée de Fourier n'est pas, en général une opération réversible: supposons par exemple que le signal à temps continu x(t) est réel et a une composante non nulle aux fréquence $\omega_e/2$ et $-\omega_e/2$. On aura $X(-\omega_e/2)=\overline{X(\omega_e/2)}$ Lors de l'échantillonnage, on additionnera les répliques décalées de ces composantes, si bien que le résultat sera nécessairement une composante réelle en $Y(-\omega_e/2)$ et $Y(\omega_e/2)$: l'information sur la partie imaginaire de $X(\omega_e/2)$ sera perdue. Pour reconstituer un signal à temps continu à partir de ses échantillons, il faut que le signal continu avant échantillonnage respecte certaines contraintes - Il ne faut pas qu'une composante à une fréquence $\omega$ du signal échantillonné provienne de plusieurs composantes du signal à temps continu (du fait de l'addition des répliques de la transformée de Fourier du signal à temps continu). - Il faut, pour chaque composane du signal échantillonné, connaître la bande de fréquence de largeur $\omega_e$ dont elle était originaire dans le signal à temps continu.

Figure 22: Interprétation de la reconstruction des signaux dans le domaine temporel et dans le domaine des fréquences: Les signaux à temps continu occupent ici une bande de fréquence limitée mais différente; le premier $x(t)$ vérifie les conditions de Shannon: il le présente pas de repliement spectral lors de l'échantillonnage et la reconstruction est correcte. Le second $y(t)$ a une bande passante plus large que la moitié de la fréquence d'échantillonnnage: la reconstruction par filtrage passe-bas du signal échantillonné ne redonne pas le signal original
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,16.5)
% multip...
.... de $x_2(t)$}
%fichier mathcad : repliement.mcd
\end{picture}
\end{figure}

La contrainte la plus naturelle qu'on peut imposer au signal (réel) à temps continu et qui satisfait ces conditions est de le limiter en fréquence par un filtrag linéaire pour s'assurer que sa transformée de Fourier est nulle en dehors de la bande de fréquences $]-\omega_e/2,\omega_e/2[$ (Théorème de Shannon: la bande de fréquence occupée par un signal réel doit être inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonage). Dans ce cas, les répliques de $X(\omega)$ ne se chevauche pas et on connait la bande de fréquence initiale du signal $x(t)$. Dans le cas des signaux complexes, il n'y a pas nécessairement symétrie de l'amplitude des composantes pour les fréquences positives ou négatives. Dans ce cas la reconstruction correcte suppose que la bande de fréquence (incluant les fréquences positives et négatives) occupée par le signal soit inférieure à la fréquence d'échantillonnage. La fréquence d'échantillonnage doit ainsi être adaptée à la bande de fréquence occupée par le signal: il apparaît que le signal vocal est clairement intelligible si on le réduit à une bande de fréquence de 0 à 4 kHz. En conséquence, la parole en téléphonie numérique est échantillonnée à 8 kHz. L'oreille peut être sensible aux sons jusqu'à 20 kHz, ce qui amène les systèmes numériques de transmission et de mémorisation de son haute fidélité à échantilloner les signaux à 44.1 kHz. Le débit de prise de vues au cinéma est de 24 images par seconde et de 25 images par seconde en vidéo. Un signal vidéo SECAM (pour la luminance seulement) est composé de 576 lignes de 720 échantillons (ou pixels) par trame (par image).

Remarque L'échantillonnage peut être interprété comme une modulation du signal analogique par différentes porteuses aux fréquences multiples de la fréquence d'échantillonnage. On peut dans certaines applications utiliser cette remarque pour moduler et démoduler des signaux en transmission numérique.


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Leroux Joel
2000-11-14