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Interprétation de l'échantillonnage dans le domaine des fréquences

Figure 21: Interprétation de l'échantillonnage dans le domaine temporel et dans le domaine des fréquences: Le signal à temps continu occupe ici une bande de fréquence limitée; Dans le domaine temporel, l'opération d'échantillonage est un produit par une fonction peigne; la transformée de Fourier de cette fonction peigne est une fonction peigne dans le domaine des fréquences; l'opération d'échantillonnage qui est un produit dans le domaine temporel se traduit par un produit de convolution dans le domaine des fréquences (la fréquence d'échantillonnage $2\pi $ correspond à la fréquence 64)
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,15)
% multiput...
...y(t)$}
%fichier mathcad : echantillonnagecos.mcd
\end{picture}
\end{figure}

L'opération d'échantillonnage consiste à mesurer la valeur du signal $x(t)$ à un instant donné (par exemple pour $t=0$), ce qui peut se formaliser en utilisant la distribution de Dirac
\begin{displaymath}
x(0)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t)dt
\end{displaymath} (63)

De même, la mesure à l'instant $nT_e$ s'écrira
\begin{displaymath}
x(nT_e)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_e)dt
\end{displaymath} (64)

On peut interpréter l'échantillonnage comme une séquence d'impulsions de Dirac modulées en amplitude par le signal x(t)
\begin{displaymath}
y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_e)\delta(t-nT_e)
\end{displaymath} (65)

ou encore sous la forme d'un produit que nous noterons
$\displaystyle y(t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_e)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle x(t)s(t)$ (66)

Remarque importante: Pour interpréter correctement l'échantillonnage et la reconstruction du signal à temps continu $x(t)$ à partir des échantillons $x(nT_e)$, il faut bien se représenter le signal échantillonné comme cette suite d'impulsions modulées en amplitude séparées par des périodes où le signal est nul, et non sous la forme de créneaux d'amplitude constante $x(nT_e)$ entre les instants d'échantillonnage, qui est le résultat de l'application d'un bloqueur au signal échantillonné. Cette erreur d'interprétation peut être la source d'une mauvaise compréhension, assez courante chez certains spécialistes du traitement d'images. La représentation (66) est un produit dans le domaine temporel. Elle se traduit donc sous la forme d'une convolution dans le domaine des fréquences. La distribution $s(t)$ est un ``peigne'' d'impulsions de Dirac régulièrement espacées. Elle admet une transformée de Fourier, $S(\omega)$ qui est elle aussi un peigne d'impulsions de dirac régulièrement espacées, l'écart entre les harmoniques étant $\omega_e=2\pi/T_e$

\begin{displaymath}
S(\omega)=K\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-k\omega_e)
\end{displaymath} (67)

(Le coefficient de normalisation $K$ qui peut être pris égal à $T_e^2$ pour garantir la conservation de la puissance dans le passage du domaine temporel au domaine fréquenciel n'a pas de conséquences dans l'interprétation fréquencielle de l'échantillonnage.) La transformée d'un produit dans le domaine temporel est une convolution dans le domaine des fréquences. On a donc
$\displaystyle Y(\omega)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}X(\omega-\nu)S(\nu)d\nu$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}X(\omega-\nu)\left[K\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\nu-k\omega_e)\right]d\nu$ (68)

La convolution $Y_k(\omega)$ d'une fonction $X(\omega)$ par une impulsion de Dirac décalée en $k\omega_e$ se traduit par une translation de $k\omega_e$
\begin{displaymath}
Y_k(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega-\nu)\delta(\nu-k\omega_e)d\nu=X(\omega-k\omega_e)
\end{displaymath} (69)

Pour obtenir $Y(\omega )$, on effectue la somme du résultat des convolutions de $X(\omega)$ par les différentes impulsions $\delta(\omega-k\omega_e)$, on en déduit donc
\begin{displaymath}
Y(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}Y_k(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-k\omega_e)
\end{displaymath} (70)

La transformée de Fourier du signal échantillonné s'obtient par addition de reproductions de la transformée de Fourier du signal original identiques en forme mais décalées les unes des autres de $\omega_e$. C'est donc une fonction périodique de la fréquence de période $\omega_e$.
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Leroux Joel
2000-11-14