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L'échantillonnage des signaux

Le traitement numérique des signaux se fait sur des valeurs discrètes: il n'est pas possible de traiter par ordinateur des signaux à temps continu. Par souci de simplicité, on échantillonne les signaux à un rythme régulier. Une horloge de cadence $T$ permet de conserver entre les instants $nT$ et $(n+1)T$ la valeur qu'avait le signal à l'instant $nT$ (fig 19), ce qui permet ensuite de calculer la valeur numérique binaire du signal par une une succession d'opérations de comparaisons à des tensions de référence de la forme $v_02^{-k}$ et de soustractions.

Figure 19: Illustration de l'échantillonnage d'un signal : on mesure la valeur du signal à des instants qui sont des multiples de la période d'échantillonnage
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,4.5)
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...=''echsinus2.eps''}}}
%fichier mathcad :echsinus
\end{picture}
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On conçoit bien que si le signal à analyser ne varie pas trop rapidement, et que si la cadence d'échantillonnage est suffisamment élevée, on pourra retrouver l'information du signal original dans le signal échantillonné. Mais il est nécessaire de traduire ceci de manière un peu plus formelle, ce qui nous conduira à établir le théorème de Nyquist (ou de Shannon) donnant le lien entre la bande de fréquence occupée par le signal et la cadence d'échantillonnage. Une manière raisonnable de considérer ce problème est de trouver les conditions pour lesquelles il est possible de reconstituer le signal à temps continu à partir des échantillons mémorisés. Ce développement se fait simplement en utilisant une interprétation dans le domaine des fréquences. Nous verrons donc dans quelles conditions, le signal échantillonné permet de retrouver le signal initial et la manière de reconstruire ce signal initial par interpolation entre les échantillons.

Quelques remarques La représentation graphique d'un signal échantillonné ressemble à celle du signal continu lorsque le signal est dans le domaine des basses fréquences. Toutefois, pour les fréquences élevées, le signal échantillonné ne présente guère de similitude avec le signal original (cf fig. illustrechan2).

Figure 20: La version échantillonnée d'une sinusoïde dont la fréquence est proche de la moitié de la fréquence d'échantillonnage ne ressemble pas au signal à temps continu initial
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...chsinusfes2f.eps''}}}
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Les précurseurs de l'invention de l'échantillonage et du développement de la théorie correspondantes sont les inventeurs qui se sont intéressés à l'analyse du mouvement au dix-neuvième siècle: les créateurs du stroboscope (Plateau en Belgique et Von Stamper en Autriche en 1829); puis ceux du ``chronoscope'', un système de prises de vues rapides permettant l'analyse du mouvement, (Muybridge aux USA et Marey en France, vers 1870). Les premières recontructions de séquences d'images animées sont fondées sur la permanence rétinienne (une image se conserve environ 1/10ième de seconde) découverte par Plateau et effectivement utilisée dans le stroboscope puis le cinématographe (les frères Lumière en 1895). De nombreux sites ``web'' présentent les résultats obtenus par ces inventeurs. La formulation mathématique des bonnes conditions d'échantillonnage a été proposée à H. Nyquist en 1928 puis reprise par C. Shannon en 1948, spécialistes des communications des Bell's labs. Les résultats fondamentaux sur l'échantillonage sont bien illustrés par l'effet stroboscopique de ralenti ou même de changement de sens de rotation lors de la visualisation d'une roue filmée à 25 images par seconde.

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Leroux Joel
2000-11-14