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Conservation de l'énergie, théorème de Parseval

On définit l'énergie d'un signal comme l'intégrale du carré de son module
\begin{displaymath}
E(\vert x\vert^2)=\int_{-\infty}^{\infty}\vert x(t)\vert^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\overline{x(t)}dt
\end{displaymath} (57)

On peut appliquer le résultat sur la transformée de Fourier d'une convolution au cas où
\begin{displaymath}
h(t)=\overline{x(-t)}.
\end{displaymath} (58)

Dans ce cas la sortie du filtre, $r(t)$ est appelée `` autocorrélation de $x(t)$
\begin{displaymath}
r(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\overline{x(-t+\tau)}d\tau
\end{displaymath} (59)

En posant $u=t+\tau$, on remarque que $r(-t)$ s'écrit
\begin{displaymath}
r(-t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\overline{x(t+\tau)}d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}x(-t+u)\overline{x(u)}du=r(t)
\end{displaymath} (60)

Cette fonction d'autocorrélation est une fonction paire de $t$. On peut montrer, en utilisant l'inégalité de Schwarz, qu'elle présente un maximum à l'origine. Comme la transformée de Fourier de $x(-t)$ vaut $\overline{X(\omega)}$, on a
\begin{displaymath}
Y(\omega)= \vert X(\omega)\vert^2
\end{displaymath} (61)

$E(\vert x\vert^2)$ est la valeur à l'origine de la fonction d'autocorrélation, elle peut se calculer en utilisant la transformée de Fourier inverse
\begin{displaymath}
E(\vert x\vert^2)=r(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\vert X(\omega)\vert^2d\omega
\end{displaymath} (62)

A une constante $1/2\pi$ près, l'énergie du signal peut se calculer aussi bien dans le domaine temporel que dans le domaine fréquenciel.
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Leroux Joel
2000-11-14