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Transformée de Fourier d'un produit de fonctions

La transformée de Fourier et la transformée de Fourier inverse ont des formulations identiques à une constante et un changement de signe près. Par conséquent la transformée d'un produit de fonctions dans le domaine temporel est une convolution dans le domaine des fréquences:
\begin{displaymath}
y(t)=x(t)h(t)
\end{displaymath} (52)


\begin{displaymath}
Y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)h(t)\exp(-j\omega t)dt
\end{displaymath} (53)

En écrivant $x(t)$ comme une transformée de Fourier inverse
\begin{displaymath}
Y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{...
...}^{\infty}X(\nu)\exp(j\nu t)d\nu\right]h(t)\exp(-j\omega t)dt
\end{displaymath} (54)

En admettant qu'on peut changer l'ordre des intégrations
\begin{displaymath}
Y(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\nu)\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(t)\exp[-j(\omega-\nu) t]dt\right] d\nu
\end{displaymath} (55)

où on reconnait la transformée $H(\omega-\nu)$
\begin{displaymath}
Y(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\nu)H(\omega-\nu) d\nu
\end{displaymath} (56)

Un cas particulier important de ce résultat, la modulation des signaux a été vu au paragraphe 2.5.2. Nous en verrons une autre application dans le chapitre trois consacré à l'échantillonage.
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Leroux Joel
2000-11-14