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Transformée de Fourier d'une convolution

Soit
\begin{displaymath}
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau
\end{displaymath} (44)

qui a pour transformée de Fourier
\begin{displaymath}
Y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau\right]\exp
-j\omega t dt
\end{displaymath} (45)

En supposant qu'il est possible de changer l'ordre des intégrations
\begin{displaymath}
Y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)\exp
-j\omega t dt\right]d\tau
\end{displaymath} (46)

et en introduisant artificiellement
\begin{displaymath}
1=\exp j\omega \tau \exp -j\omega \tau
\end{displaymath} (47)


\begin{displaymath}
Y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\exp -j\omega \tau\...
...y}h(t-\tau)\exp
-j\omega t \exp j\omega \tau dt\right] d\tau
\end{displaymath} (48)

ou bien en effectuant le changement de variable $t-\tau=u$
$\displaystyle Y(\omega)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\exp -j\omega \tau\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(u)\exp
-j\omega u du\right] d\tau$ (49)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\exp -j\omega \tau d\tau \right]\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(u)\exp
-j\omega u du\right]$ (50)

On y reconnait les transformées de Fourier $X(\omega)$ et $H(\omega)$ des fonctions $x(t)$ et $h(t)$
\begin{displaymath}
Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)
\end{displaymath} (51)

La transformée de Fourier d'une convolution de deux fonctions est un produit des transformées de Fourier de ces deux fonctions. Ce résultat est un des résultats les plus importants en traitement du signal aussi bien dans les aspects théoriques que dans les applications.
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Leroux Joel
2000-11-14