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Multiplication par une sinusoïde, translation en fréquence

Comme la transformée de Fourier et la transformée de Fourier inverse ont la même forme, on a la propriété identique dans le domaine fréquenciel: le signal
\begin{displaymath}
x_{\omega_0}=x(t)\exp j\omega_0 t
\end{displaymath} (39)

a pour transformée de Fourier
\begin{displaymath}
X_{\omega_0}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t) \exp -j(\omega-\omega_0) t dt
\end{displaymath} (40)


\begin{displaymath}
X_{\omega_0}(\omega)=X(\omega-\omega_0)
\end{displaymath} (41)

Cette propriété est fondamentale pour l'interprétation de la modulation des signaux en télécommunications. De manière a transmettre simultanément plusieurs signaux, $x_a(t)$, $x_b(t)$, $x_c(t)$, on leur applique l'opération de modulation (39), en choisissant pour chacun des trois signaux des fréquences porteuses différentes, $\omega_a$, $\omega_b$ et $\omega_c$. Dans le domaine des fréquences, le récepteur reçoit la somme des trois signaux,
\begin{displaymath}
Y(\omega)=X_a(\omega-\omega_a)+X_b(\omega-\omega_b)+X_c(\omega-\omega_c)
\end{displaymath} (42)

Pour retrouver un des signaux, par exemple $x_b(t)$ il doit réaliser l'opération inverse de la modulation (39), la démodulation
\begin{displaymath}
Y_b(\omega)=X_a(\omega-\omega_a+\omega_b)+X_b(\omega-\omega_b+\omega_b)+X_c(\omega-\omega_c+\omega_b)
\end{displaymath} (43)

et éliminer, par filtrage, les composantes indésirables $X_a(\omega-\omega_a+\omega_b)$ et $X_c(\omega-\omega_c+\omega_b)$, ce qui permet de retrouver $X_b(\omega)$, soit, dans le domaine temporel, le signal émis $x_b(t)$. Un exemple est donné par la figure 17.

Figure: Illustration des effets d'une modulation d'amplitude dans le domaine temporel (colonne de gauche) et dans le domaine des fréquence (colonne de droite). De haut en bas: signal avant modulation; signal après modulation par une porteuse $\cos\omega_0 t$ (on remarque la translation dans les fréquences positives et la translation dans les fréquences négatives car on module par un signal réel); multiplication du signal modulé à la réception par la porteuse qui peut être déphasée par rapport à la fréquence porteuse à l'émission (on remarque un dédoublement et une translation des deux composantes dans le domaine des fréquences, deux de ces quatre composantes sont identiques et se superposent dans le domaine des basses fréquences, le signal utile est cette composante basse fréquence ; enfin signal filtré passe bas éliminant les composantes hautes fréquences
\begin{figure}
\begin{picture}(0,17)
% multiput(0,0)(0,1)\{15\}\{ line(1,0)\{1...
...07.eps''}}
%fichier mathcad : comnumfiltrage.mcd
\end{picture}
\end{figure}


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Leroux Joel
2000-11-14