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La transformée de Fourier

La décomposition en séries de Fourier peut s'étendre aux fonctions non périodiques. Dans ce cas nous aurons une décomposition sous la forme
\begin{displaymath}
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\exp j\omega t
d\omega
\end{displaymath} (26)

où l'amplitude complexe à la fréquence $\omega$ est donnée par
\begin{displaymath}
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t) \exp -j\omega t dt
\end{displaymath} (27)

Pour justifier cette décomposition, il faut montrer que
\begin{displaymath}
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau) \left[\in...
...infty}^{\infty}\exp j\omega
(t-\tau)
d\omega\right] d\tau
\end{displaymath} (28)

et donc que
\begin{displaymath}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\exp j\omega t d\omega=\delta(t)
\end{displaymath} (29)

La démonstration nécessite la théorie des distributions. Elle est fondée sur la propriété suivante
\begin{displaymath}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\exp j\omega t d\omeg...
...htarrow\infty}\int_{-\Omega}^{\Omega}\exp j\omega t d\omega
\end{displaymath} (30)


\begin{displaymath}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\Omega}^{\Omega}\exp j\omega t d\omega
= \frac{\sin\Omega t}{\pi t}
\end{displaymath} (31)

On peut montrer en utilisant les propriétés des fonctions de la variable complexe que la fonction $\frac{\sin\Omega t}{\pi t}$ vérifie
\begin{displaymath}
\lim_{\Omega\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\Omega t}{\pi
t}dt=1
\end{displaymath} (32)

De plus,
\begin{displaymath}
\lim_{\Omega\rightarrow\infty}\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{\sin\Omega t}{\pi
t}dt=1
\end{displaymath} (33)

et on en déduit que
\begin{displaymath}
\lim_{\Omega\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\frac{\sin\Omega t}{\pi
t}dt=x(0)
\end{displaymath} (34)

ce qui est la caractérisation de la distribution de Dirac. L'éq. (29) montre que la distribution de Dirac a pour transformée de Fourier la fonction constante et égale à l'unité. On notera que si une fonction est discontinue (mais continue par morceaux, comme un créneau) alors le module de sa transformée de Fourier décroit comme $\omega^{-1}$, si elle est continue, il décroit comme $\omega^{-2}$, si elle est dérivable, il décroit comme $\omega^{-3}$. Si la décroissance est en $\omega^{-2}$ ou plus rapide, le calcul de la transformée de Fourier inverse ne pose pas de difficultés liées à la convergence des intégrales, mais il faut prendre quelques précautions dans le premier cas (décroissance en $\omega^{-1}$.) En particulier, si un signal est discontinu et qu'on cherche à le reconstruire par transformée de Fourier inverse en utilisant un domaine de fréquences limité, cette reconstruction fera apparaître au voisinage de la discontinuïté des oscillations dont l'amplitude n'est pas négligeable (phénomène de Gibbs illustré par la figure 16). Un phénomène du même type peut apparaître lorsque un signal discontinu est échantilloné et qu'on lui applique un retard d'un demi-échantillon, réalisé dans le domaine des fréquences par un déphasage linéaire de la forme $\exp (j\omega T_e/2)$.

Figure 16: Reconstruction d'un signal discontinu à partir d'un nombre limité de fréquences faisant apparaître le phénomène de Gibbs (a) signal original (b) signal reconstruit avec un faible nombre de fréquences, (c) signal reconstruit avec un plus grand nombre de fréquences
\begin{figure}
\begin{picture}(10.,5)
\put(0.5,4.4){(a)}\put(5.5,4.5){(b)}\put...
...0.2,3.75){$x''(t)$}
%fichier mathcad : gibbs.mcd
\end{picture}
\end{figure}


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Leroux Joel
2000-11-14