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Modèles à moyenne mobile (MA), factorisation spectrale

La méthode d'identification des filtres récursifs décrite dans le paragraphe 8.1 permettant d'obtenir un filtre dont la stabilité est garantie et vérifiant
\begin{displaymath}
\frac{\sigma^2}{A(z)A(z^{-1})}=R(z)
\end{displaymath} (383)

peut s'étendre au calcul des paramètres d'un filtre $B_q(z)$ non-récursif à minimum de phase, c'est à dire tel que toutes les racines de $z^qB(z)$ se trouvent à l'intérieur du cercle de rayon un et vérifiant
\begin{displaymath}
B_q(z)B_q(z^{-1})=R(z)
\end{displaymath} (384)

On dit que $B_q(z)$ est le facteur spectral de $R(z)$ La récurrence permettant d'obtenir ce facteur spectral se déduit directement de l'algorithme de Levinson en modifiant la matrice ${\bf R}_p$ apparaissant dans l'équation (351) : on la remplace par une matrice de Toeplitz dont le nombre de lignes est infini et dont le nombre de colonnes est $p+1$
\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{cccc}
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ ...
... e_{-p-1}^{(p)}\\ e_{-p-2}^{(p)}\\ \vdots\end{array}\right)
\end{displaymath} (385)

où on a posé
\begin{displaymath}
e_0^{(p)}=\sigma_{(p)}^2
\end{displaymath} (386)

Ceci revient à filtrer la fonction d'autocorrélation $r(\tau)$ par le filtre à réponse impulsionnelle $A_p(z)$ Dans ce cas on peut reformuler l'algorithme de Levinson en appliquant la matrice de l'équation (385) à l'équation récurrente (354), ce qui donne pour tout $m$
\begin{displaymath}
e_m^{(p)}=e_m^{(p-1)}+k_{p-1}e_{p-m}^{(p-1)}
\end{displaymath} (387)

et $k_{p-1}$ s'écrit aussi en fonction de $e_m^{(p)}$
\begin{displaymath}
k_{p-1}=-\frac{e_{-p}^{(p-1)}}{e_0^{(p-1)}}
\end{displaymath} (388)

On peut montrer, en appliquant l'inégalité de Schwarz, que toutes les valeurs $e_m^(p)$ sont bornées par
\begin{displaymath}
\vert e_m^{(p)}\vert<[r(0)e_0{(p)}]^{1/2}
\end{displaymath} (389)

ce qui a permis l'utilisation de cet algorithme (connu sous le nom d'algorithme de Schur) dans de processeurs en virgule fixe pour le codage de la parole dans les systèmes de téléphonie mobile GSM.
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Leroux Joel
2000-11-14