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Représentation des signaux périodiques sous la forme de séries de Fourier

Un signal $x(t)$ périodique de période $T_0$ peut se décomposer sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux, les harmoniques dont la fréquence est un multiple de la fréquence fondamentale
\begin{displaymath}
\omega_0=2\pi/T.
\end{displaymath} (12)

Remarque: Comme dans la plupart des ouvrages anglosaxons, nous ne ferons pas la différence entre ``pulsation'' et fréquence, qui représentent des données identiques avec des unités différentes: les radians par seconde dans le premier cas ou le nombre de périodes ou de tours par seconde dans le second cas.) On aura ainsi
\begin{displaymath}
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(n\omega_0)\exp(j n\omega_0 t)
\end{displaymath} (13)

Il n'y pas d'autres composantes, en considérant que la composante continue (pour $n=0$) fait partie des harmoniques. L'amplitude complexe de chaque harmonique $X(n\omega_0)$ se calcule de la manière suivante
\begin{displaymath}
X(n\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x(t) \exp(-j n\omega_0
t)dt
\end{displaymath} (14)

Figure 11: Représentation graphique d'un signal de parole, faisant apparaître une quasi-périodicité dans les périodes successives du signal; la durée $1000$ correspond à $125$ ms
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,4.5)
% multipu...
...cial{psfile=''sicad8a.eps''}}
%fichier mathcad :
\end{picture}
\end{figure}

Figure 12: Grossissement d'une portion du signal précédent, une période de longueur $64$ correspond à une durée de $8$ ms soit à une fréquence de $125$ Hz
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,4.5)
% multipu...
...icad8b.eps''}}
%fichier mathcad :harmoniques.mcd
\end{picture}
\end{figure}

Figure 13: Amplitude des harmoniques calculées sur une période du signal de parole (les fréquences des harmoniques sont des multiples de la fréquence fondamentale qui est ici de 125 Hz.Chacune de ces harmoniques a une amplitude, mais aussi une phase dont la représentation n'est pas donnée parce qu'elle n'est pas très explicite
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,4.5)
% multipu...
...cial{psfile=''sicad8c.eps''}}
%fichier mathcad :
\end{picture}
\end{figure}

Figure 14: Reconstruction du signal utilisant toutes les 32 harmoniques visibles dans ce signal, la reconstruction du signal original est parfaite sur la première période. Les autres périodes reconstituées sont identiques à la première et donc légèrement différentes des périodes correspondantes du signal initial
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,4.5)
% multipu...
...cad12a.eps''}}
%fichier mathcad :harmoniques.mcd
\end{picture}
\end{figure}

Figure 15: Reconstruction du signal n'utilisant que les 16 harmoniques de plus basse fréquences, les fluctuations rapides du signal ont disparu
\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,4.5)
% multipu...
...cad12b.eps''}}
%fichier mathcad :harmoniques.mcd
\end{picture}
\end{figure}

En admettant que l'écriture sous la forme (13) est valable, le calcul (14) donne
\begin{displaymath}
X'(n\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}X(m\omega_0)\exp(j m\omega_0 t) \exp(-j n\omega_0
t)dt
\end{displaymath} (15)

Si la commutation de la sommation et de l'intégration est possible
\begin{displaymath}
X'(n\omega_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}X(m\omega_0)\int_{0}^{T_0}\exp [j (m-n)\omega_0 t] dt
\end{displaymath} (16)

Comme
$\displaystyle m\ne n$ $\textstyle \Rightarrow$ $\displaystyle \int_{0}^{T_0}\exp [j (m-n)\omega_0 t]
dt=0$  
$\displaystyle m= n$ $\textstyle \Rightarrow$ $\displaystyle \int_{0}^{T_0}\exp [j (m-n)\omega_0 t] dt=T_0$ (17)

on a bien, pour tout $n$:
\begin{displaymath}
X'(n \omega_0)=X(n \omega_0)
\end{displaymath} (18)

A l'inverse, la démonstration permettant de justifier l'écriture (13) n'est pas si directe: il faut montrer que le signal reconstitué $x'(t)$
\begin{displaymath}
x'(t)=\frac{1}{T_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{0}^{T_0}x(\tau)\exp
j n\omega_0(t-\tau)d\tau
\end{displaymath} (19)


\begin{displaymath}
x'(t)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x(\tau)\sum_{m=-\infty}^{\infty}\exp
j n\omega_0(t-\tau)d\tau
\end{displaymath} (20)

est bien égal au signal initial $x(t)$, et donc que pour $-T_0/2<\tau<T_0/2$
\begin{displaymath}
\frac{1}{T_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\exp
j n\omega_0(-\tau)d\tau=\delta(\tau)
\end{displaymath} (21)

$\delta(\tau)$ est une impulsion de Dirac. Une démonstation correcte fait appel à la théorie des distribution. Nous admettrons la validité de ce résultat. Remarque: Nous avon systématiquement utilisé la représentation complexe qui est plus facile à manipuler que la représentation en sinus et cosinus. Ceci fait intervenir la notion de fréquences négatives qu'on peut interpréter de la manière suivante. La fréquence est associée à la vitesse de rotation d'un point se déplaçant uniformément sur le cercle de rayon unité. Une rotation dans le sens positif correspond à une fréquence positive, une rotation dans le sens négatif correspond à une fréquence négative. Un mouvement sinusoïdal réel sera la combinaison de deux mouvements en sens inverse.
$\displaystyle \cos(\omega t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}(\exp j\omega t + \exp - j \omega t)$ (22)
$\displaystyle \sin(\omega t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2j}(\exp j\omega t - \exp - j \omega t)$ (23)



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Leroux Joel
2000-11-14