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Critère de similarité entre densités spectrales

Cette intéressante interprétation est donnée par Markel et Gray, `` linear prediction of speech'', édité par Springer et Verlag en 1976 : On considère l'intégrale suivante qui permet de calculer une distance entre la densité spectrale du signal étudié $R(e^{j\theta})$ et la densité spectrale du signal obtenu en filtrant $\varepsilon_p(t)$ par le filtre récursif $1/B_p(z)$
\begin{displaymath}
I=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{R(e^{j\theta})...
...a})}{\sigma^2/ \vert B_p(e^{j\theta})\vert^2}-1\right)d\theta
\end{displaymath} (373)

On vérifie que c'est bien l'intégrale d'une fonction positive du type $u-\log u-1$ étudiée au voisinage de $u=1$. On cherche parmi tous les couples $\{\sigma^2,B_p(z)\}$ (vérifiant toujours $a_0^{(p)}=1$), celui qui minimise $I$ lorsque $R(z)$ est donné. L'intégrale $I_1$ du premier terme de la somme est proportionnelle à la variance $\sigma_p^2$ du signal obtenu en filtrant $x(t)$ par le filtre de réponse impulsionnelle finie $B_p(z)$
\begin{displaymath}
\sigma_p^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
R(e^{j\theta}\vert B_p(e^{j\theta})\vert^2 d\theta
\end{displaymath} (374)

et
\begin{displaymath}
I_1=\sigma_p^2/\sigma^2
\end{displaymath} (375)

On peut simplifier le deuxième terme (soit $I_2$) en remarquant que
\begin{displaymath}
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log(\vert B_p(e^{j\theta})\vert^2)=0
\end{displaymath} (376)

lorsque $z^p B_p(z)$ a toutes ses racines à l'intérieur du cercle de rayon $1$. En effet, dans ce cas, la fonction $\log (1+\alpha z^{-1})$ est une fonction holomorphe dans le disque de rayon $1$ car $\alpha < 1$, son intégrale le long du cercle de rayon $1$ est donc nulle. On en déduit que l'intégrale du second terme ne dépend pas de $B_p(z)$ (à condition que le filtre $1/B_p(z)$ soit stable). $I_2$ s'écrit
\begin{displaymath}
I_2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(
-\log\frac{R(e^{j\theta})}{\sigma^2})d\theta
\end{displaymath} (377)

et l'intégrale de la somme des trois termes
\begin{displaymath}
I=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{\sigma_p^2}{\sigma^2 }
-\log\frac{R(e^{j\theta})}{\sigma^2}-1)d\theta
\end{displaymath} (378)

$\sigma_p^2$ n'apparait que dans le premier terme. Lorsqu'on fait varier $\sigma_p^2$ pour une valeur donnée de $\sigma^2/$, $I$ atteint son minimum lorsque $\sigma_p^2$ est elle-même mimimale, c'est-à-dire lorsque le filtre $1/B_p(z)$ vérifie les équations de Yule-Walker et minimise la variance du signal résiduel $\varepsilon(t)$: c'est le filtre $1/A_p(z)$ trouvé par la méthode du paragraphe précédent. Une fois déterminé le filtre optimal,$1/A_p(z)$, il reste à trouver la valeur optimale de $\sigma^2$. $\sigma_p^2$ étant connu, le minimum de $I$ est obtenu lorsque sa dérivée par rapport à $\sigma$ s'annule, soit lorsque
\begin{displaymath}
\sigma^2=\sigma_p^2
\end{displaymath} (379)

Le couple $\sigma_p^2, A_p(z)$ minimise donc le critère $I$. La valeur du minimum est donnée en reportant l'eq.(379) dans l'eq.(378)
\begin{displaymath}
I=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
-\log \frac {R(e^{j\theta})}{\sigma_p^2}d\theta
\end{displaymath} (380)

Il est utile d'analyser d'un peu plus près ce critère $I$ pour se faire une idée de la contribution des différents écarts de la forme
\begin{displaymath}
\Delta R(\theta)= \log R(e^{j\theta})-\log \frac{\sigma_p^2}{\vert A_p(e^{j\theta})\vert^2}
\end{displaymath} (381)

dans l'intégrale $I$. La contribution de $\Delta R(\theta)$ dans $I$ est:
\begin{displaymath}
e^{\Delta R(\theta)}-\Delta R(\theta)-1.
\end{displaymath} (382)

Figure 71: Importance de la contribution des écarts dans le modèle d'un spectre obtenu par prédiction linéaire : les composantes qui sont plus grandes que celles du modèle ont un poids plus élevé que les composantes qui sont plus petites que celles du modèle, si bien qu'elles sont mieux modélisées; le spectre du modèle de prédiction linéaire apparait comme un lissage des composantes spectrales d'amplitude élevée
\begin{figure}
\begin{picture}(0,5)
% multiput(0,0)(0,1)\{5\}\{ line(1,0)\{15\...
...redlin.eps''}}
%fichier mathcad : ''wiener.mcd''
\end{picture}
\end{figure}

Si $\Delta R(\theta)$ est négatif, le terme prépondérant sera $\Delta R(\theta)$, alors que si $\Delta R(\theta)$ est positif, le terme prépondérant sera $e^{\Delta
R(\theta)}$. Par conséquent, une valeur positive de $\Delta R(\theta)$ aura un poids $e^{\Delta
R(\theta)}$ plus important qu'une valeur négative de même amplitude dont la contribution sera $\vert\Delta R(\theta)\vert$. Le modèle fondé sur prédiction linéaire et la minimisation de la variance du signal résiduel donnera surtout une fonction qui représentera bien les maxima du spectre, mais modélisera moins bien les minima. Ce modèle sera bien adapté à l'analyse du signal vocal où il est important de représenter les résonances du filtre plus que les zéros de transmission.
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Leroux Joel
2000-11-14