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Justification de la méthode d'identification

Si le signal $x(t)$ a effectivement été engendré par un bruit blanc (ou plutôt une séquence i.i.d.) stationnaire de variance $\sigma_v^2$ filtré par un filtre récursif $1/B(z)$, où
\begin{displaymath}
B(z)=b_0+b_1 z^{-1}+\cdots+b_q z^{-q} (b_0=1),
\end{displaymath} (367)

causal et stable, la transformée en $z$ de sa fonction d'autocorrélation (sa densité spectrale
\begin{displaymath}
R(z)=\sum_{-\infty}^{\infty} r(\tau)z^{-\tau})
\end{displaymath} (368)

vérifie
\begin{displaymath}
R(z)=\frac{\sigma_v^2}{B(z)B(z^{-1})}
\end{displaymath} (369)

ou bien
\begin{displaymath}
R(z)B(z)=\frac{\sigma_v^2}{B(z^{-1})}
\end{displaymath} (370)

Si on calcule la transformée en $z$ inverse de cette équation, en remarquant que $1/B(z)$ est la transformée en $z$ d'une séquence causale et par conséquent que les échantillons obtenus à partir de $1/B(z^{-1})$ sont nuls pour les temps positifs, on obtient
\begin{displaymath}
\sum_{k=0}^{q}b_kr_k=\sigma_v^2
\end{displaymath} (371)

et pour $\tau>0$
\begin{displaymath}
\sum_{k=0}^{q}b_k r_{\tau - k} = 0
\end{displaymath} (372)

Les coefficients $b_k$ vérifient bien les équations de Yule-Walker; comme la solution de ces équations est unique, le méthode qui en découle permet de retrouver les coefficients du système à condition que l'ordre du modèle soit au moins égal à celui du système étudié. Il est cependant possible de donner une justification de la méthode même lorsque l'ordre du modèle n'est pas celui du système étudié.
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Leroux Joel
2000-11-14