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Equivalence des algorithmes de Levinson et de Schur Cohn

Comme les variances sont des réels positifs, on en déduit que $k_{p-1}$ est un nombre compris entre $-1$ et $+1$. Or, on remarque que la récurrence de Levinson est exactement la même que celle qu'on a développée dans le cas du filtre en treillis à partir de l'algorithme de Schur-Cohn. Voici l'écriture de l'algorithme de Levinson (354)
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c}
a_0^{(p)}\\ a_1^{(p)}\\ a_2^{(p)}\\...
...-1)}\\ \vdots\\ a_1^{(p-1)}\\ a_0^{(p-1)}\end{array}\right)
\end{displaymath} (360)

et l'écriture correspondante de l'algorithme de Schur-Cohn
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c}
a_0^{(p-1)}\\ a_1^{(p-1)}\vdots\\ a...
...1}^{(p)}\\ \vdots\\ a_1^{(p)}\\ a_0^{(p)}\end{array}\right)
\end{displaymath} (361)

L'écriture en termes de combinaisons de vecteurs peut se traduire en termes de combinaisons de polynômes. Dans les équations qui suivent, on associe toujours au vecteur
\begin{displaymath}
\left(
a_0^{(p)},a_1^{(p)},\dots,a_{p-1}^{(p)},a_p^{(p)}\right)^T
\end{displaymath} (362)

le polynôme en $z^{-1}$ $A_{p}(z)$ et au vecteur
\begin{displaymath}
\left(a_p^{(p)},a_{p-1}^{(p)},\dots,a_1^{(p)},a_0^{(p)}\right)^T
\end{displaymath} (363)

le polynôme en $z^{-1}$ $[z^{-p}A_{p}(z^{-1})]$.
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c}
A_{p}(z)\\ \\ z^{-p}A_{p}(z^{-1})\e...
...
A_{p-1}(z)\\ \\ z^{-p+1}A_{p-1}(z^{-1})\end{array}\right)
\end{displaymath} (364)

et l'écriture correspondante de l'algorithme de Schur-Cohn
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c}
A_{p-1}(z)\\ \\ z^{-p+1}A_{p-1}(z^{...
...ay}{c}
A_{p}(z)\\ \\ z^{-p}A_{p}(z^{-1})\end{array}\right)
\end{displaymath} (365)

Les matrices apparaissant dans les équations (364) et (365) sont inverses l'une de l'autre. On en déduit donc que le polynôme $z^pA_p(z)$ a toutes ses racines à l'intérieur du disque de rayon $1$ et que le filtre $1/A_p(z$ est stable.
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Leroux Joel
2000-11-14